已知△ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,A为椭圆短轴端点,AB⊥AC,AH⊥BC交BC于点H,求点H的轨迹方程.
第1个回答 2019-10-04
先取A为椭圆短轴上端点(0,4),A为下端点的结果可以由对称性得到.
设点B的坐标为(a,b),BC的斜率为 k ,则AH的斜率为 -1/k .
直线BC的方程为：y-b = k(x-a) ,
直线AH的方程为：y-4 = -(1/k)x ,
联立解得点H的坐标：
x = k(4-b+ka)/(k²+1) ,
y = (4k²+b-ka)/(k²+1) ；
消去参数k、a、b,即可得到点H的轨迹方程.
设AB的斜率为 m ,则AC的斜率为 -1/m .
直线AB的方程为：y-4 = mx ,
直线AC的方程为：y-4 = -(1/m)x ,
分别代入椭圆方程,可求得：
点B的坐标为 ( -40m/(5m²+4) , -(20m²-16)/(5m²+4) ) ；
点C的坐标为 ( 40m/(4m²+5) , (16m²-20)/(4m²+5) ) ；
可计算直线BC的斜率为 (4m²-4)/(9m) .
至此,参数k、a、b都已求出（用m表示）,
可计算：b-ka = -4/9 .
代入点H的坐标,可得：
x = 40k/(9k²+9) ,
y = (36k²-4)/(9k²+9) .
由 y = 4 - 40/(9k²+9) ,可得：x = k(4-y) ,且 k² = (4+9y)/(36-9y) ；
所以,x² = k²(4-y)² = (1/9)(4+9y)(4-y) ,
整理得点H的轨迹方程为：x²+(y-16/9)²=(20/9)² .
取A为椭圆短轴下端点(0,-4)时,
由对称性可得点H的轨迹方程为：x²+(y+16/9)²=(20/9)² .
综上所述,点H的轨迹方程为：x²+(y±16/9)²=(20/9)² ,该轨迹为两个圆.
设点B的坐标为(a,b),BC的斜率为 k ,则AH的斜率为 -1/k .
直线BC的方程为：y-b = k(x-a) ,
直线AH的方程为：y-4 = -(1/k)x ,
联立解得点H的坐标：
x = k(4-b+ka)/(k²+1) ,
y = (4k²+b-ka)/(k²+1) ；
消去参数k、a、b,即可得到点H的轨迹方程.
设AB的斜率为 m ,则AC的斜率为 -1/m .
直线AB的方程为：y-4 = mx ,
直线AC的方程为：y-4 = -(1/m)x ,
分别代入椭圆方程,可求得：
点B的坐标为 ( -40m/(5m²+4) , -(20m²-16)/(5m²+4) ) ；
点C的坐标为 ( 40m/(4m²+5) , (16m²-20)/(4m²+5) ) ；
可计算直线BC的斜率为 (4m²-4)/(9m) .
至此,参数k、a、b都已求出（用m表示）,
可计算：b-ka = -4/9 .
代入点H的坐标,可得：
x = 40k/(9k²+9) ,
y = (36k²-4)/(9k²+9) .
由 y = 4 - 40/(9k²+9) ,可得：x = k(4-y) ,且 k² = (4+9y)/(36-9y) ；
所以,x² = k²(4-y)² = (1/9)(4+9y)(4-y) ,
整理得点H的轨迹方程为：x²+(y-16/9)²=(20/9)² .
取A为椭圆短轴下端点(0,-4)时,
由对称性可得点H的轨迹方程为：x²+(y+16/9)²=(20/9)² .
综上所述,点H的轨迹方程为：x²+(y±16/9)²=(20/9)² ,该轨迹为两个圆.
