求微分方程(y''')^2+(y'')^2=1满足所给初始条件y|x=0=0,y'|x=0=1,y'

求微分方程(y''')^2+(y'')^2=1满足所给初始条件y|x=0=0,y'|x=0=1,y''|x=0=0的特解

解：y'''=dy''/dx，y''=dy'/dx，因此原式可写为(dy''/dx)²+(dy'/dx)²=1...........(1)
令dy'/dx=p，则y'''=dy''/dx=[d(dy'/dx)]/dx=dp/dx；代入(1)式得：
(dp/dx)²+p²=1，故dp/dx=√(1-p²)；
分离变量得dp/√(1-p²)=dx；积分之得arcsinp=x+C₁，即p=sin(x+C₁)；
代入初始条件：x=0时y''=p=0，得C₁=0，故p=sinx..........(2)
由(2)得y''=dy'/dx=sinx，即有dy'=sinxdx；积分之得y'=∫sinxdx=-cosx+C₂；
代入初始条件：x=0时y'=1，得C₂=2；故有y'=2-cosx........(3)
由(3)得y=∫(2-cosx)dx=2x-sinx+C₃；代入初始条件：x=0时y=0得C₃=0;
故原方程的特解为y=2x-sinx.

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