如题所述
关系: r(A)+r(B)<=n;
推导过程如下:
设AB = 0, A是mxn, B是nxs 矩阵;
则 B 的列向量都是 AX=0的秩;
所以 r(B)<=n-r(A);
所以 r(A)+r(B)<=n。
扩展资料:
秩性质
我们假定 A是在域 F上的 m× n矩阵并描述了上述线性映射。
只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射,当且仅当 A有秩 n(在这种情况下,我们称 A有“满列秩”)。
f是满射,当且仅当 A有秩 m(在这种情况下,我们称 A有“满行秩”)。
在方块矩阵A(就是 m= n) 的情况下,则 A是可逆的,当且仅当 A有秩 n(也就是 A有满秩)。如果 B是任何 n× k矩阵,则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。
即:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B)) 推广到若干个矩阵的情况。
就是:秩(A1A2...Am)≤min(秩(A1),秩(A2),...秩(Am)) 证明:考虑矩阵的秩的线性映射的定义,令A、B对应的线性映射分别为 f和 g,则秩(AB)表示复合映射 f·g,它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。
然而 Im g是整个空间的一部分,因此它在映射 f作用下的象也是整个空间在映射 f作用下的象的一部分。也就是说映射 Im f·g是Im f的一部分。
对矩阵就是:秩(AB)≤秩(A)。对于另一个不等式:秩(AB)≤秩(B),考虑 Im g的一组基:(e1,e2,...,en),容易证明(f(e1),f(e2),...,f(en))生成了空间 Im f·g,于是 Im f·g的维度小于等于Im g的维度。
对矩阵就是:秩(AB)≤秩(B)。因此有:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B))。若干个矩阵的情况证明类似。
作为 "<" 情况的一个例子,考虑积 两个因子都有秩 1,而这个积有秩 0。可以看出,等号成立当且仅当其中一个矩阵(比如说 A)对应的线性映射不减少空间的维度,即是单射,这时 A是满秩的。
于是有以下性质:如果 B是秩 n的 n× k矩阵,则 AB有同 A一样的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵,则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r,当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数(这就是秩-零化度定理)。
参考资料来源:百度百科--秩
参考资料来源:百度百科--矩阵
关系是r(A)+r(B)<=n。
因为AB=0,所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解。而根据线性方程组理论,AX=0的中线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)≤ n-r(A)。
而B的列向量组是解空间的一部分,所以B的列向量组中的中的向量个数(就是秩r(B))一定≤基础解系中线性无关的解的个数,也就是≤ n-r(A),所以r(B)≤ n-r(A),从而r(A)+r(B)<=n。
扩展资料
方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A),m × n最大为m和n中的较小者,表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩”)的。
设A是一组向量,定义A的中向量的个数为A的秩。
定义1、在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的,称为A的一个k阶子式。
例如,在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2、A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩,记作rA,或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得:
若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。
由定义直接可得n阶的秩为n,通常又将可逆矩阵称为, det(A)≠0;不满秩矩阵就是,det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5)知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
本回答被网友采纳则 B 的列向量都是 AX=0 的解
所以 r(B)<=n-r(A)
所以 r(A)+r(B)<=n
则 B 的列向量都是 AX=0 的解
所以 r(B)