如题所述
有限域表示理论重温
在探索有限群的复表示理论时，我们初次接触了表示的意义，但当时未完全理解。现在，回顾寻找有限群不可约复表示的基本步骤，我们能更好地理解这些理论的重要性。
首先，通过简单的线性代数（相似标准型），我们能将表示分类为一维、主序列表示和补充表示。
一维表示可通过计算特征标来证明其不可约性，而主序列表示则通过从Borel子群诱导得到。我们同样利用这些原理找到了所有不可约复表示。
对于特征为2的有限域，二次扩张不存在，这影响了表示理论。
接着，我们转向局部域的表示理论，与有限域的理论相似但可能更复杂。在局部域上，我们关注连续且光滑的表示，并利用Schur引理来分类表示。
对于有限维admissible表示，我们证明了它们实际上是一维连续表示。通过与Tate thesis的比较，我们得到这些表示与quasi-character一一对应。
在局部域上，我们寻找主序列表示，通过从Borel子群诱导得到。通过Jacquet module分类表示，得到超尖点表示，其具有许多好性质，如超尖点形式。
最后，我们提及了实数域上的表示理论观察，以及经典群分类，如线性、正交、辛和单元群。
我们初步审视了Siegel模形式和它们与GL_2表示的关系，但忽略了技术细节和计算，将在以后提供补充。
以上是有限域、局部域上GL_2表示的概览，以及与实数域上的表示理论对比，涉及的经典群分类和Siegel模形式的初步探索。
在探索有限群的复表示理论时，我们初次接触了表示的意义，但当时未完全理解。现在，回顾寻找有限群不可约复表示的基本步骤，我们能更好地理解这些理论的重要性。
首先，通过简单的线性代数（相似标准型），我们能将表示分类为一维、主序列表示和补充表示。
一维表示可通过计算特征标来证明其不可约性，而主序列表示则通过从Borel子群诱导得到。我们同样利用这些原理找到了所有不可约复表示。
对于特征为2的有限域，二次扩张不存在，这影响了表示理论。
接着，我们转向局部域的表示理论，与有限域的理论相似但可能更复杂。在局部域上，我们关注连续且光滑的表示，并利用Schur引理来分类表示。
对于有限维admissible表示，我们证明了它们实际上是一维连续表示。通过与Tate thesis的比较，我们得到这些表示与quasi-character一一对应。
在局部域上，我们寻找主序列表示，通过从Borel子群诱导得到。通过Jacquet module分类表示，得到超尖点表示，其具有许多好性质，如超尖点形式。
最后，我们提及了实数域上的表示理论观察，以及经典群分类，如线性、正交、辛和单元群。
我们初步审视了Siegel模形式和它们与GL_2表示的关系，但忽略了技术细节和计算，将在以后提供补充。
以上是有限域、局部域上GL_2表示的概览，以及与实数域上的表示理论对比，涉及的经典群分类和Siegel模形式的初步探索。
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