求2012年唐山第一次模拟数学答案

唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试
理科数学参考答案
一、 选择题：
A卷：DCCAC　　CBAAB　　BD
B卷：ABCDC CAADB DB
二、填空题：
（13）56.19 （14）48 （15）√2－1 （16）√11
三、解答题：
（17）解：
∴S1＋2S2＋…＋nSn＝2[(n－1)2n＋1＋2]－n(n＋1)＝(n－1)＾［2（n＋2）］＋4－n(n＋1)．（18）解　Y的均值E(Y)＝E(X＋15)＝E(X)＋15＝4× 1／ 3＋15＝49／3．
（19）解：
（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．
∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB． …4分
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则
D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，
C(0，2，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．
DB→＝(2，2，0)，DE→＝(1，0，1)，CB→＝(2，0，0)，CS→＝(0，－2，2)．
设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，则
m•DB→＝0，m•DE→＝0，即2x1＋2y1＝0，x1＋z1＝0，
因此可取m＝(－1，2，1)． …8分
设n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则
n•CB→＝0，n•CS→＝0，即2x2＝0，－2y2＋2z2＝0，
因此可取n＝(0，2，1)． …10分
cosm，n＝m•n|m||n|＝323＝32，
故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为30． …12分
（20）解：
（Ⅰ）由题设知，F( p 2，0)，C(－ p 2，0)，
设A(x¬1，y1)，B(x2，y2)，直线l方程为x＝my＋ p 2，
代入抛物线方程y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0．
y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2． …4分
不妨设y1＞0，y2＜0，则
tan∠ACF＝y1x1＋ p 2＝y1y212p＋ p 2＝2py1y21＋p2＝2py1y21－y1y2＝2py1－y2，
tan∠BCF＝－y2x2＋ p 2＝－2py2－y1，
∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF． …8分
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF＝2py1y21＋p2≤2py12py1＝1，当且仅当y1＝p时取等号，
此时∠ACF取最大值 π 4，∠ACB＝2∠ACF取最大值 π 2，
并且A( p 2，p)，B( p 2，－p)，|AB|＝2p． …12分
（21）解：
（Ⅰ）f(x)＝－lnx－ax2＋x，
f(x)＝－ 1 x－2ax＋1＝－2ax2－x＋1x． …2分
令Δ＝1－8a．
当a≥ 1 8时，Δ≤0，f(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减． …4分
当0＜a＜ 1 8时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，
不妨设x1＜x2，
则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f(x)＜0，当x∈(x1，x2)时，f(x)＞0，
这时f(x)不是单调函数．
综上，a的取值范围是[ 1 8，＋∞)． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0， 1 8)时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，
且x1＋x2＝12a，x1x2＝12a．
f(x1)＋f(x2)＝－lnx1－ax21＋x1－lnx2－ax22＋x2
＝－(lnx1＋lnx2)－ 1 2(x1－1)－ 1 2(x2－1)＋(x1＋x2)
＝－ln(x1x2)＋ 1 2(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋14a＋1． …9分
令g(a)＝ln(2a)＋14a＋1，a∈(0， 1 8]，
则当a∈(0， 1 8)时，g(a)＝ 1 a－14a2＝4a－14a2＜0，g(a)在(0， 1 8)单调递减，
所以g(a)＞g( 1 8)＝3－2ln2，即f(x1)＋f(x2)＞3－2ln2． …12分
（22）证明：
（Ⅰ）∵FG与圆O相切于点G，∴FG2＝FD•FA，
∵EF＝FG，EF2＝FD•FA，∴EFFD＝FAEF，
∵∠EFD＝∠AFE，∴△EFD∽△AFE． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），有∠FED＝∠FAE，
∵∠FAE和∠BCD都是BD⌒上的圆周角，∴∠FED＝∠BCD，
∴EF∥BC． …10分
（23）解：
（Ⅰ）曲线C在直角坐标系下的普通方程为x216＋y24＝1，
将其化为极坐标方程为ρ2cos2θ16＋ρ2sin2θ4＝1，
分别代入θ＝ π 4和θ＝－ π 4，得|OA|2＝|OB|2＝325，
因∠AOB＝ π 2，故△AOB的面积S＝ 1 2|OA||OB|＝165． …5分
（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得(t－22)2＝0，
∴t＝22，代入l的参数方程，得x＝22，y＝2，
所以曲线C与直线l的交点坐标为(22，2)． …10分
（24）解：
（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝－2x，x＜－1，2，－1≤x≤1，2x，x＞1．
当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；
当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4；
当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．
所以M＝(－2，2)． …5分
（Ⅱ）当a，b∈M即－2＜a，b＜2，
∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)(4－b2)＜0，
∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2，
∴2|a＋b|＜|4＋ab|． …10分

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