如直角三角形两直角边分别为a、b，矩形一角与三角形的直角重合，问如何使矩形面积最大？
似乎是矩形顶点位于斜边中点时面积最大，请问如果用函数证明呢？
第1个回答 2011-11-10
解：如图，设矩形的边CN=x，根据RT△ABC∽RT△PBN求得PN=b(a-x)/a
所以：设矩形MCNP的面积为y，则有
y=x*b(a-x)/a
即：y=-(b/a)x²+bx
对于函数y=-(b/a)x²+bx来说，二次项系数-b/a<0，所以函数有最大值，当x=-b/(-2b/a)=a/2时，y值最值
所以：N点是BC的中点，
而PN∥AC，
所以：P点是AB的中点。
也就是说，当矩形的顶点位于斜边中点时矩形面积最大。
第2个回答 2011-11-10
设RT△ABC，矩形DECF内接于△ABC，E在AC上，D在AB上，F在BC上，<C=90°，
设DE=x,AC=b,BC=a,
DE//CB，
DF//AC，
△AED∽△ACB，
DE/CB=AE/AC,
x/a=AE/b,
AE=bx/a,
CE=b-bx/a=b(a-x)/a,
S矩形DECF=DE*CE=xb(a-x)/a=(-b/a)(x^2-ax+a^2/4)+ab/4=(-b/a)(x-a/2)^2+ab/4,
当x=a/2时，有最大值为ab/4,
∴DE=a/2,即D为AB中点时矩形有最大面积。
第3个回答 2011-11-10
学过二次函数么？学过就好解了，木有学过就麻烦了。
先画一个图，三角形两直角边为a、b，设矩形在直角边a上面的长为X，根据相似三角形性质，可以得到矩形另一边的长为：(a-X)b/a，(如果这个式子不理解，去初中回炉)，那么矩形面积S=X(a-X)b/a。于是得到一个二次函数：S=-b/aX^2+bX；求这个二次函数的极大值，因为式子中所有值均为正值，这是一个开口向下的二次函数，有极大值，根据二次函数性质，当(X=-B/2A)时，S有极大值，（这里的A和B，是指标准二次函数里面的a和b，不是这个三角形里面的a和b）；带入上式，X=-b/2(-b/a)，解得X=a/2，也就是说a的长度是x的一半，则为矩形边为直角边上的中线，斜边上的顶点，为中点。
这个是用二次函数方法求解，楼上的各位也不错，殊途同归！本回答被提问者采纳
先画一个图，三角形两直角边为a、b，设矩形在直角边a上面的长为X，根据相似三角形性质，可以得到矩形另一边的长为：(a-X)b/a，(如果这个式子不理解，去初中回炉)，那么矩形面积S=X(a-X)b/a。于是得到一个二次函数：S=-b/aX^2+bX；求这个二次函数的极大值，因为式子中所有值均为正值，这是一个开口向下的二次函数，有极大值，根据二次函数性质，当(X=-B/2A)时，S有极大值，（这里的A和B，是指标准二次函数里面的a和b，不是这个三角形里面的a和b）；带入上式，X=-b/2(-b/a)，解得X=a/2，也就是说a的长度是x的一半，则为矩形边为直角边上的中线，斜边上的顶点，为中点。
这个是用二次函数方法求解，楼上的各位也不错，殊途同归！本回答被提问者采纳
第4个回答 2011-11-10
解：tga=a/b
设三角形b边上减去矩形底边后为x，
矩形边长c=x*tga d=b-x
矩形面积=c*d=（b-x）*x*tga =a/b(b-x)xtga=a/b[-(x-b/2)²+b²／4]
当x= b/2时，矩形面积有最大值，且最大值=ab／4
