如题所述
人类是动物进化的产物,最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样,在漫长的生活实践中,由于记事和分配生活用品等方面的需要,才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽,就用1块石子代表。捕获了3头,就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕,或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了,就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的,但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步,现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上,罗马数字的符号一共只有7个:I(代表1)、V(代表5)、X(代表10)、L(代表50)、C代表100)、D(代表500)、M(代表1,000)。这7个符号位置上不论怎样变化,它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来,就能表示任何数:
1.重复次数:一个罗马数字符号重复几次,就表示这个数的几倍。如:"III"表示"3";"XXX"表示"30"。
2.右加左减:一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号,就表示大数字加小数字,如"VI"表示"6","DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号,就表示大数字减去小数字的数目,如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495"。
3.上加横线:在罗马数字上加一横线,表示这个数字的一千倍。如:""表示 "15,000",""表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号,最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号,不过难写难认,后人没有沿用。到春秋战国时期,生产迅速发展,适应这一需要,我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍,也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好,就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及,算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式,都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出,筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百,放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零",遇到"零"就空位。比如"6708",就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零",是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上,以免弄错,这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为,"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点(·)表示零,后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现,应该指出,我国古代文字中,"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有",而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是:在一百之外,还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五","零"字与"0"恰好对应,"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话,会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时,"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明,就被教皇召去,施行了拶(zǎn)刑,使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现,谁也阻挡不住。现在,"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有,也可以表示有。如:气温0℃,并不是说没有气温;"0"是正负数之间唯一的中性数;任何数(0除外)的0次幂等于1;0!=1(零的阶乘等于1)。
除了十进制以外,在数学萌芽的早期,还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中,十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去,又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲,逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要,人们发现,仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时,5个人分4件东西,每个人人该得多少呢?于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年!自然数、分数和零,通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展,人们又发现很多数量具有相反的意义,比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量,又产生了负数。正整数、负整数和零,统称为整数。如果再加上正分数和负分数,就统称为有理数。有了这些数字表示法,人们计算起来感到方便多了。
但是,在数字的发展过程中,一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊,那里有一个毕达哥拉斯学派,是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源,支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例,这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现,使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比,所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时,发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X,既然,推导的结果即x2=2。他画了一个边长为1的正方形,设对角线为x ,根据勾股定理x2=12+12=2,可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数,这个数肯定是存在的。可它是多少?又该怎样表示它呢?希帕索斯等人百思不得其解,最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊,动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌,他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数,如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 π、等形式,称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极,数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数,这道题还有解吗?如果没有解,那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根,即i=,虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来,写成 a+bi的形式(a、b均为实数),这就是复数。在很长一段时间里,人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量,所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展,虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用,在掌握和会使用虚数的科学家眼中,虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后,在很长一段时间内,连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了,数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日,英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数,就是一种形如的数。它是由一个标量 (实数)和一个向量(其中x 、y 、z 为实数)组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时,人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴,人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要,向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生,把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴,但若归入超复数中不太合适,所以,人们将复数和超复数称为狭义数,把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧,但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止,数的家庭已发展得十分庞大。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的,但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步,现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上,罗马数字的符号一共只有7个:I(代表1)、V(代表5)、X(代表10)、L(代表50)、C代表100)、D(代表500)、M(代表1,000)。这7个符号位置上不论怎样变化,它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来,就能表示任何数:
1.重复次数:一个罗马数字符号重复几次,就表示这个数的几倍。如:"III"表示"3";"XXX"表示"30"。
2.右加左减:一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号,就表示大数字加小数字,如"VI"表示"6","DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号,就表示大数字减去小数字的数目,如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495"。
3.上加横线:在罗马数字上加一横线,表示这个数字的一千倍。如:""表示 "15,000",""表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号,最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号,不过难写难认,后人没有沿用。到春秋战国时期,生产迅速发展,适应这一需要,我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍,也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好,就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及,算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式,都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出,筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百,放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零",遇到"零"就空位。比如"6708",就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零",是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上,以免弄错,这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为,"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点(·)表示零,后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现,应该指出,我国古代文字中,"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有",而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是:在一百之外,还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五","零"字与"0"恰好对应,"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话,会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时,"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明,就被教皇召去,施行了拶(zǎn)刑,使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现,谁也阻挡不住。现在,"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有,也可以表示有。如:气温0℃,并不是说没有气温;"0"是正负数之间唯一的中性数;任何数(0除外)的0次幂等于1;0!=1(零的阶乘等于1)。
除了十进制以外,在数学萌芽的早期,还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中,十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去,又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲,逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要,人们发现,仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时,5个人分4件东西,每个人人该得多少呢?于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年!自然数、分数和零,通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展,人们又发现很多数量具有相反的意义,比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量,又产生了负数。正整数、负整数和零,统称为整数。如果再加上正分数和负分数,就统称为有理数。有了这些数字表示法,人们计算起来感到方便多了。
但是,在数字的发展过程中,一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊,那里有一个毕达哥拉斯学派,是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源,支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例,这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现,使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比,所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时,发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X,既然,推导的结果即x2=2。他画了一个边长为1的正方形,设对角线为x ,根据勾股定理x2=12+12=2,可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数,这个数肯定是存在的。可它是多少?又该怎样表示它呢?希帕索斯等人百思不得其解,最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊,动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌,他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数,如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 π、等形式,称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极,数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数,这道题还有解吗?如果没有解,那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根,即i=,虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来,写成 a+bi的形式(a、b均为实数),这就是复数。在很长一段时间里,人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量,所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展,虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用,在掌握和会使用虚数的科学家眼中,虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后,在很长一段时间内,连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了,数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日,英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数,就是一种形如的数。它是由一个标量 (实数)和一个向量(其中x 、y 、z 为实数)组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时,人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴,人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要,向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生,把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴,但若归入超复数中不太合适,所以,人们将复数和超复数称为狭义数,把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧,但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止,数的家庭已发展得十分庞大。
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答 2007-09-01
一、数的发展简史
数是各种具体的量的抽象.从历史上看,人类对于数的认识,大体上是按照以下的逻辑顺序进行的:
自然数(添正分数)-→正有理数(添零)-→非负有理数(添负数)
-→有理数(添无理数)-→实数(添虚数)-→复数
自然数的产生,起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数,后来随着生产力的发展和记数方法的改进,逐步认识越来越多的自然数.这个过程大致可以分为三个阶段.在第一阶段,物体集合的性质,是由物体间的直接比较确定的.我国古代传说的结绳记数便属于这一阶段.在第二阶段,出现了数词,如三头牛、五只羊等等.这时,还没能把单个的数从具体物体的集合中分离出来.在第三阶段,认识到每一个单个的数,是物体集合的一种性质,把数从具体物体的集合中分离出来,形成了抽象的自然数(正整数)概念,并有了代表它的符号.从某种意义上说,幼儿认识自然数的过程,就是人类祖先认识自然数的过程的再现.
随着生产的发展,在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中,都需要进行测量.在测量过程中,常常会发生度量不尽的情况,如果要更精确地度量下去,就必然产生自然数不够用的矛盾.这样,正分数就应运而生.据数学史书记载,三千多年前埃及纸草书中已经记有关于正分数的问题.引进正分数,这是数的概念的第一次扩展.
最初人们在记数时,没有“零” 的概念.后来,在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多,逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法,零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中,利用 “空位”表示零.公元6世纪,印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是,把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0,这是数的概念的第二次扩充.
以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家,《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲,直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数,这是数的概念的第三次扩充.
数的概念的又一次扩充渊源于古希腊。公元前5世纪,古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras,约公元前580~前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的,为了得到不可公度线段比的精确数值,导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在,至于严格的实数理论,直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数,形成实数系,这是数的概念的第四次扩充.
数的概念的再一次扩充,是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶,意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式,胆地引用了负数开平方的运算,得到了正确答案.由此,虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进,并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验,最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数,形成复数系,这是数的概念的第五次扩充.
上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出,数的概念的产生,实际上是交错进行的.例如,在人们还没有完全认识负数之前,早就知道了无理数的存在;在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.
直到19世纪初,从自然数到复数的理论基础,并未被认真考虑过.后来,由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响,促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起,经过皮亚诺(G.Peano,1855~1939)、康托尔(G.Cantor,1845~1918)、戴德金(R.Dedekind,1831~1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass,1815~1897)等数学家的努力,完成了建立整个数系的逻辑工作.
近代数学关于数的理论,是在总结数的历史发展的基础上,用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础,首先要建立自然数系,然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是
N--------→Z--------→Q--------→R--------→C
(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)
科学的数集扩充,通常采用两种方法:一是添加元素法,即把新元素添加到已建立的数集中去;二是构造法,即从理论上构造一个集合,然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.
中、小学数学教学中,为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充,主要是渗透近代数学观点,采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:
自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数)
→有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集
数系的每一次扩充,都解决了一定的矛盾,从而扩大了数的应用范围.但是,数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如,从自然数系 N 扩充到整数系 Z 后,Z 对减法具有封闭性,但失去N 的良序性质,即N 中任何非空子集都有最小元素.又如,由实数系R 扩充到复数系C 后,C 是代数闭域,即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性,C 中元素已无大小可言.
数系扩充到复数系后,能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求,那么进一步的扩充是可能的.比如,放弃乘法交换律,复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求,四元数系H 又可扩充为八元数系Ca 等等.当然,在现代数学中,通常总是把“数”理解为复数或实数,只有在个别情况,经特别指出,才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.本回答被网友采纳
数是各种具体的量的抽象.从历史上看,人类对于数的认识,大体上是按照以下的逻辑顺序进行的:
自然数(添正分数)-→正有理数(添零)-→非负有理数(添负数)
-→有理数(添无理数)-→实数(添虚数)-→复数
自然数的产生,起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数,后来随着生产力的发展和记数方法的改进,逐步认识越来越多的自然数.这个过程大致可以分为三个阶段.在第一阶段,物体集合的性质,是由物体间的直接比较确定的.我国古代传说的结绳记数便属于这一阶段.在第二阶段,出现了数词,如三头牛、五只羊等等.这时,还没能把单个的数从具体物体的集合中分离出来.在第三阶段,认识到每一个单个的数,是物体集合的一种性质,把数从具体物体的集合中分离出来,形成了抽象的自然数(正整数)概念,并有了代表它的符号.从某种意义上说,幼儿认识自然数的过程,就是人类祖先认识自然数的过程的再现.
随着生产的发展,在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中,都需要进行测量.在测量过程中,常常会发生度量不尽的情况,如果要更精确地度量下去,就必然产生自然数不够用的矛盾.这样,正分数就应运而生.据数学史书记载,三千多年前埃及纸草书中已经记有关于正分数的问题.引进正分数,这是数的概念的第一次扩展.
最初人们在记数时,没有“零” 的概念.后来,在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多,逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法,零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中,利用 “空位”表示零.公元6世纪,印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是,把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0,这是数的概念的第二次扩充.
以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家,《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲,直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数,这是数的概念的第三次扩充.
数的概念的又一次扩充渊源于古希腊。公元前5世纪,古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras,约公元前580~前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的,为了得到不可公度线段比的精确数值,导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在,至于严格的实数理论,直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数,形成实数系,这是数的概念的第四次扩充.
数的概念的再一次扩充,是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶,意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式,胆地引用了负数开平方的运算,得到了正确答案.由此,虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进,并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验,最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数,形成复数系,这是数的概念的第五次扩充.
上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出,数的概念的产生,实际上是交错进行的.例如,在人们还没有完全认识负数之前,早就知道了无理数的存在;在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.
直到19世纪初,从自然数到复数的理论基础,并未被认真考虑过.后来,由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响,促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起,经过皮亚诺(G.Peano,1855~1939)、康托尔(G.Cantor,1845~1918)、戴德金(R.Dedekind,1831~1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass,1815~1897)等数学家的努力,完成了建立整个数系的逻辑工作.
近代数学关于数的理论,是在总结数的历史发展的基础上,用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础,首先要建立自然数系,然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是
N--------→Z--------→Q--------→R--------→C
(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)
科学的数集扩充,通常采用两种方法:一是添加元素法,即把新元素添加到已建立的数集中去;二是构造法,即从理论上构造一个集合,然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.
中、小学数学教学中,为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充,主要是渗透近代数学观点,采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:
自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数)
→有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集
数系的每一次扩充,都解决了一定的矛盾,从而扩大了数的应用范围.但是,数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如,从自然数系 N 扩充到整数系 Z 后,Z 对减法具有封闭性,但失去N 的良序性质,即N 中任何非空子集都有最小元素.又如,由实数系R 扩充到复数系C 后,C 是代数闭域,即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性,C 中元素已无大小可言.
数系扩充到复数系后,能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求,那么进一步的扩充是可能的.比如,放弃乘法交换律,复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求,四元数系H 又可扩充为八元数系Ca 等等.当然,在现代数学中,通常总是把“数”理解为复数或实数,只有在个别情况,经特别指出,才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.本回答被网友采纳