如题所述
(1+x)^(1/x)的导数为(1+x)^(1/x)*(x-(1+x)*ln(1+x))/((1+x)*x^2)。
解：令y=(1+x)^(1/x)
分别对等式两边取对数，即
lny=ln((1+x)^(1/x))=(ln(1+x))/x，
在分别对等式两边对x求导，可得，
(lny)'=((ln(1+x))/x)'
y'/y=(x-(1+x)*ln(1+x))/((1+x)*x^2)
那么y'=(x-(1+x)*ln(1+x))/((1+x)*x^2)*y
y'=(1+x)^(1/x)*(x-(1+x)*ln(1+x))/((1+x)*x^2)
即(1+x)^(1/x)的导数为(1+x)^(1/x)*(x-(1+x)*ln(1+x))/((1+x)*x^2)。
扩展资料：
1、导数的四则运算规则
（1）（f(x)±g(x)）'=f'(x)±g'(x)
例：（x^3-cosx）'=(x^3)'-(cosx)'=3*x^2+sinx
（2）（f(x)*g(x)）'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
例：（x*cosx）'=(x)'*cosx+x*(cosx)'=cosx-x*sinx
2、复合函数的导数求法
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
即对于y=f(t)，t=g(x)，则y'公式表示为：y'=（f(t)）'*（g(x)）'
例：y=sin（cosx），则y'=cos(cosx)*(-sinx)=-sinx*cos(cosx)
3、常用的导数公式
（lnx）'=1/x、（e^x）'=e^x、（C）'=0（C为常数）
4、导数的求导法则
（1）如果有复合函数，则用链式法则求导。
（2）对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合
参考资料来源：百度百科-导数
y = (1+x)^(1/x)
lny = (1/x)ln(1+x)
y'*1/y = ln(1+x)*(-1/x²) + (1/x)*1/(1+x)
= (1/x) * [1/(1+x) - (1/x)ln(1+x)]
y' = (1/x)(1+x)^(1/x) * [1/(1+x) - (1/x)ln(1+x)]
解二：链式法则
y = (1+x)^(1/x)，令a = 1+x，z = 1/x
∴y = a^z
dy/dx = d(a^z)/d(a) * d(a)/d(x) + d(a^z)/d(z) * d(z)/d(x)
= (z)a^(z-1) * (0+1) + (a^z)(lna) * (-1/x²)
= (z)(a^z)/(a) - (a^z)(lna)(1/x²)
= (a^z) * [z/a - (lna)/x²]
= (1+x)^(1/x) * [(1/x)/(1+x) - (1/x²)ln(1+x)]
= (1/x)(1+x)^(1/x) * [1/(1+x) - (1/x)ln(1+x)]本回答被提问者采纳
原式的导数=
针对这些函数，可以考虑用对数求导
lny=1/x*ln(1+x)
左右两边同时求导
1/y*y'=-ln(1+x)/x^2+1/(x*(1+x))
所以y'=(-ln(1+x)/x^2+1/(x*(1+x)))*y
再把y=(1+x)^(1/x)代进去就可以了
解：ln y = (1/x) ln (1+x)
y'/y = (-1/x^2) ln (1+x) + (1/x)/(1+x)
y' = (1 + x)^(1/x) [1/(1+x) - ln (1 + x) / x] / x
