已知F1,F2是椭圆C x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)的两个焦点，P是C上一点，PF1、PF2为向量，

假设a>b，则F1(c,0)、F2(-c,0)，其中c²=a²-b²

因为向量PF1·向量PF2=0
所以PF1⊥PF2
所以P在以F1F2为直径的圆上
即P(x,y)在圆O：x²+y²=c²上

又：P(x,y)在椭圆C：x²/a²+y²/b²=1上

将椭圆C与圆O的方程联立：
C：x²/a²+y²/b²=1
O：x²+y²=a²-b²

解得：x²=(a^4-2a²b²)/(a²-b²)=(a^4-2a²b²)/c²
　　　y²=b^4/(a²-b²)=b^4/c²
所以|y|=b²/c
所以S=1/2*|F1F2|*|y|=1/2*2c*b²/c=b²
所以b=3本回答被提问者采纳

设|PF1|=m，|PF2|=n，这里绝对值代表他们向量的模，即长度。
由椭圆的定义有：a^2=b^2+c^2 (1)
m+n=2a (2)
又由直角三角形有：m^2+n^2=4c^2 (3)
mn=18 (4)
将2和4式代入3式化简并整理可得：a^2-9=c^2 (5)
将第5式与第1式比较，即可得到：b^2=9
所以b=3

参考资料：

设P（x,y）由焦半径公式
1/2(a-ex)(a+ex)=9 ①
由PF1⊥PF2可知数量积为0，即
(c+x)(x-c)+y^2=0 ②
又P符合椭圆方程，即
bx^2+ay^2=a^2b^2 ③
由椭圆第一定义有
a^2=b^2+c^2 ④
由①式可得
a^2-c^2/a^2*x^2=18 ⑤
由②式可得
x^2+y^2=c^2 ⑥
联立⑥④带入③整合得
x^2+y^2=a^2-c^2 ⑦
由⑥⑦相减得
a=√2c ⑧
将⑦式与④式整合得
b=c ⑨
令③中的b^2=a^2-c^2,带入⑧⑨解得
x^2+2y^2=c^2 ⑩
⑥⑩相减得
x=0,y=c
将x=0带入⑤式解得
a=3√2
由⑧⑨可知
b=3

假设a>b，则F1(c,0)、F2(-c,0)，其中c²=a²-b²

因为向量PF1·向量PF2=0
所以PF1⊥PF2
所以P在以F1F2为直径的圆上
即P(x,y)在圆O：x²+y²=c²上

又：P(x,y)在椭圆C：x²/a²+y²/b²=1上

将椭圆C与圆O的方程联立：
C：x²/a²+y²/b²=1
O：x²+y²=a²-b²

解得：x²=(a^4-2a²b²)/(a²-b²)=(a^4-2a²b²)/c²
　　　y²=b^4/(a²-b²)=b^4/c²
所以|y|=b²/c
所以S=1/2*|F1F2|*|y|=1/2*2c*b²/c=b²
所以b=3

个人看法：本题条件不充分；
说明：对于ΔPF1F2, 由于F1F2的长度为2c，设P点纵坐标为 P(Xp,Yp)，则：
SΔPF1F2 = 1/2 * 2c *|Yp|=c *|Yp|
因此随着点P位置的变化，三角形面积可以在 0 --- b*c 变化；
(1) 补充条件 ΔPF1F2 面积最大为9；此时|Yp| =b, 得到SΔPF1F2 = b*c
仍不能确定b的值；
(2) 继续补充条件，面积最大为9，且三角形周长最小；
此时可以得到：
周长：L=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c ---①
最大面积：S=b*c=9 ---②
长短轴关系：a²=b²+c² ---③
由②得：
S²=b²*c² =(a²-c²)*c²=(a+c)*(a-c)*c*c
≤(a+c)*[(a-c+c+c)/3]³=(a+c)^4/27
当a-c=c时等号成立；
又∵ L=2(a+c) ==> a+c =L/2
∴ S²≤L^4/(16*27) ==> L^4 ≥ 16*27*S² =16*27*9²
当a-c=c 即a=2c时，周长取得最小值；
此时 c=√3/3*b 代入③得到：
b=3 * 3^(1/4)；