三角形ABC的一条边及其此边上对应的高是定值，问三角形的三条高的乘积何时最大。
这题貌似蛮难，我用代数的方法算了算，事情似乎确实没那么简单，我的方法比较复杂，楼主将就着看吧，应该有简单的几何方法吧....
要用柯西不等式...(如果不知道楼主可以到网上搜或者参见人教版高中数学书A版选修4-5)开始了!
解：设三角形ABC三边为a,b,c，各边对应的高为h1,h2,h3，让a和ha为定值，则
三角形的面积=(1/2)×a×h1为定值，而三角形的面积=(1/2)×b×h2=(1/2)×c×h3，
所以h1×h2×h3=(h1×a×h2×b×h3×c)/(a×b×c)=(h1³a³)/(abc)=(h1³×a²)/(bc)，
而h1³×a²为定值，所以只需求何时bc的值最小。
把三角形放在平面直角坐标系内，以B为原点(0,0)，BC为x轴，令C为(a,0)，把A放在BC的上面，则由BC边上的高是定值h1知A点坐标一定为(x,h1)，其中x为变量且可以属于R，
所以bc=AB×AC=√(x²+h1²)√[(x-a)²+h1²]=√{(x²+h1²)[(x-a)²+h1²]}≥(柯西不等式)|x(x-a)+h1²|
=|x²-ax+h1²|=|(x-(a/2))²+h1²-(a²/4)|，
若h1²-(a²/4)≥0，则bc在x=a/2时取到最小值，此时A位于BC中垂线上，所以b=c；
若h1²-(a²/4)<0，则bc在x=(a/2)+√((a²/4)-h1²),或x=(a/2)-√((a²/4)-h1²)取到最小值,所以BC²=AB²+AC²，所以AB⊥AC；
所以，综上所述：
若h1²≥(a²/4)，即h1≥(a/2)时，在b=c时,bc有最小值，此时三角形的三条高的乘积最大。
若h1²<(a²/4)，则h1<(a/2)时，在AB⊥AC时，bc有最小值，此时三角形的三条高的乘积最大。
终于好了....
注：ein的解答似乎有些问题。第四行“h1·h2＝2S/AB·2S/AC＝4S^2/(AB·AC)≥4S^2/[(AB＋AC)/2]^2＝16S^2/(AB＋AC)^2”这个是得出h1·h2≥16S^2/(AB＋AC)^2，求出的是h1·h2的最小值，而题目要求的是最大值，所以后面求出的只是16S^2/(AB＋AC)^2的最大值什么时候取到，不是h1·h2的最大值什么时候取到，必须要有h1·h2≤什么才能求出它的最大值。
而且我已经用几何画板检验过，当h1<(a/2)时并不是在AB=AC时三角形的三条高的乘积最大，而是在AB⊥AC时。
就说到这里吧...可能我的解答也有一些错误，比较简单的几何方法目前还未想到...
楼主哪里看不懂就马上问吧，我相信我写的可能不是特别清楚....我看到了就会回答的...
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解：设三角形ABC三边为a,b,c，各边对应的高为h1,h2,h3，让a和ha为定值，则
三角形的面积=(1/2)×a×h1为定值，而三角形的面积=(1/2)×b×h2=(1/2)×c×h3，
所以h1×h2×h3=(h1×a×h2×b×h3×c)/(a×b×c)=(h1³a³)/(abc)=(h1³×a²)/(bc)，
而h1³×a²为定值，所以只需求何时bc的值最小。
把三角形放在平面直角坐标系内，以B为原点(0,0)，BC为x轴，令C为(a,0)，把A放在BC的上面，则由BC边上的高是定值h1知A点坐标一定为(x,h1)，其中x为变量且可以属于R，
所以bc=AB×AC=√(x²+h1²)√[(x-a)²+h1²]=√{(x²+h1²)[(x-a)²+h1²]}≥(柯西不等式)|x(x-a)+h1²|
=|x²-ax+h1²|=|(x-(a/2))²+h1²-(a²/4)|，
若h1²-(a²/4)≥0，则bc在x=a/2时取到最小值，此时A位于BC中垂线上，所以b=c；
若h1²-(a²/4)<0，则bc在x=(a/2)+√((a²/4)-h1²),或x=(a/2)-√((a²/4)-h1²)取到最小值,所以BC²=AB²+AC²，所以AB⊥AC；
所以，综上所述：
若h1²≥(a²/4)，即h1≥(a/2)时，在b=c时,bc有最小值，此时三角形的三条高的乘积最大。
若h1²<(a²/4)，则h1<(a/2)时，在AB⊥AC时，bc有最小值，此时三角形的三条高的乘积最大。
终于好了....
注：ein的解答似乎有些问题。第四行“h1·h2＝2S/AB·2S/AC＝4S^2/(AB·AC)≥4S^2/[(AB＋AC)/2]^2＝16S^2/(AB＋AC)^2”这个是得出h1·h2≥16S^2/(AB＋AC)^2，求出的是h1·h2的最小值，而题目要求的是最大值，所以后面求出的只是16S^2/(AB＋AC)^2的最大值什么时候取到，不是h1·h2的最大值什么时候取到，必须要有h1·h2≤什么才能求出它的最大值。
而且我已经用几何画板检验过，当h1<(a/2)时并不是在AB=AC时三角形的三条高的乘积最大，而是在AB⊥AC时。
就说到这里吧...可能我的解答也有一些错误，比较简单的几何方法目前还未想到...
楼主哪里看不懂就马上问吧，我相信我写的可能不是特别清楚....我看到了就会回答的...
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第1个回答 2011-08-07
设BC及BC边上的高是定值，从而△ABC面积这定值，设为S
易知点A是在与BC的距离等于定高的平行线l上
设AB、AC边上的高分别为h1、h2，由于BC边上的高是定值，问题转化成求h1·h2的最大值问题
h1·h2＝2S/AB·2S/AC＝4S^2/(AB·AC)≥4S^2/[(AB＋AC)/2]^2＝16S^2/(AB＋AC)^2
于是问题再次被转化成求AB＋AC的和最小的问题，易知作点C关于直线l的对称点C'，则BC'与直线l的交点就是使AB＋AC最小的点，此时等号成立
也就是说，当△ABC为等腰三角形时，三条高的乘积最大
易知点A是在与BC的距离等于定高的平行线l上
设AB、AC边上的高分别为h1、h2，由于BC边上的高是定值，问题转化成求h1·h2的最大值问题
h1·h2＝2S/AB·2S/AC＝4S^2/(AB·AC)≥4S^2/[(AB＋AC)/2]^2＝16S^2/(AB＋AC)^2
于是问题再次被转化成求AB＋AC的和最小的问题，易知作点C关于直线l的对称点C'，则BC'与直线l的交点就是使AB＋AC最小的点，此时等号成立
也就是说，当△ABC为等腰三角形时，三条高的乘积最大
第2个回答 2011-08-07
当它是等边三角形的时候，也就是三条边上的高都相等时，三条高的乘积最大
