20题。高三数学，求详解。

已知函数f(x)=lnx-kx-(k-1)/x+2k-1(k>0)
(1)。当k=1时求函数f(x)的图像在(1，f(1))处的切线方程;
(2)。若x≧1时f(x)≦0，求k的取值范围。
解：(1)。k=1时f(x)=lnx-x+1；f(1)=0，f '(x)=(1/x)-1，f '(1)=0；
故f(x)的图像在(1，0)处的切线方程为：y=0，即x轴。
(2)。令f '(x)=(1/x)-k+(k-1)/x²=(-kx²+x+k-1)/x²=-(kx²-x-k+1)/x²=-(x-1)[kx+(k-1)]/x²=0
得驻点x₁=1，x₂=-(k-1)/k；
①当-(k-1)/k≦1，即1+(k-1)/k=(2k-1)/k≧0，也就是0<k≦1/2时，x₂是极小点，x₁是极大点；此时
f(x)的极大值= f(1)=-k-(k-1)+2k-1=0，故0<k≦1/2可取；
②当-(k-1)/k>1，即k>1/2时，x₁是极小点，x₂是极大点；
由f(x₂)=ln[(1-k)/k]-k[(1-k)/k]-(k-1)/[(1-k)/k]+2k-1=ln[(1-k)/k]+2k-2≦0，得1/2<k<1.
①∪②={k∣0<k<1}就是k的取值范围。追问

谢谢你。

追答

更正：(2)的分析和结论都有错，兹更正如下：
f(x)的定义域：x>0；
令f '(x)=(1/x)-k+(k-1)/x²=[-kx²+x+(k-1)]/x²
=-[kx²-x-(k-1)]/x²=-[kx+(k-1)](x-1)/x²
=-k[x-(1-k)/k](x-1)/x²=0
得驻点x₁=1，x₂=(1-k)/k。
要使x≧1时f(x)≦0，必须使x≧1时f(x)的最大值≦0.
①当(1-k)/k=1，即k=1/2时，不等式f '(x)=-(1/2)(x-1)²/x²â‰¦0在f(x)的定义域(0，+∞)内恒成立，此时
f(x)=lnx-(1/2)x+1/(2x)在x>0内单调递减，那么当x≧1时f(x)的最大值=f(1)=0，故k=1/2满足题意。
②当0<(1-k)/k<1，即1/2<k<1时，x₁=1是极大点，此时在x≧1时f(x)的最大值=f(1)=-k-(k-1)+2k-1
=0， 故1/2<k<1满足题意。
③当k≧1时，f '(x)=-k[x-(1-k)/k](x-1)/x²=-k[x+(k-1)/k](x-1)/x²â‰¦0在x≧1时恒成立，故f(x)在[1，+∞)
内单调减，maxf(x)=f(1)=-k-(k-1)+2k-1=0，故k≧1满足题意。
综上所述，在x≧1的条件下，使f(x)≦0的k的取值范围为[1/2，+∞)。

追问

你的才是正确的，那一个是错的，可是那一个我已经采纳了，没有办法采纳你的了，不好意思啊。

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