高中数学三角函数 已知a和b为任意角.求证：cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 课本上只给了锐角的证明，对任意角的繁杂推广谁会？？
在直角坐标系中画出半径为单位1的圆，A、B为圆上的两点，a为OA与x轴的夹角，b为OB与x轴的夹角，连接A、B。
证明：
∵OA=OB=1
∴点A的坐标为（cosa，sina），点B的坐标为（cosb，sinb）
∴AB²=（cosa-cosb）²+（sina+sinb）²
在△AOB中，根据余弦定理可得
AB²=OA²+OB²-2×OA×OB×cos（a-b）
∴（cosa-cosb）²+（sina-sinb）²=1²+1²-2×1×1×cos（a-b）
cos²a-2cosacosb+cos²b+sin²a-2sinasinb+sin²b=2-2cos（a-b）
cos²a+sin²a+cos²b+sin²b-2cosacosb-2sinasinb=2-2cos（a-b）
1+1-2cosacosb-2sinasinb=2-2cos（a-b）
2cos（a-b）=2cosacosb+2sinasinb
cos（a-b）=cosacosb+sinasinb
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2015-02-28
在单位圆⊙O上作∠AOB＝A，使点A在x轴的正半轴上；再作∠BOC＝B，∠AOD＝－B。
那么，A、B、C、D的坐标依次为：
（1，0）、（cosA，sinA）、（cos（A＋B），sin（A＋B））、（cos（－B），sin（－B））。
∵OD＝OA、OB＝OC、∠DOB＝∠AOC＝A＋B，∴△DOB≌△AOC，∴DB＝AC。
由两点间距离公式，有：
DB＝√｛［cosA－cos（－B）］^2＋［sinA－sin（－B）］^2｝
＝√［（cosA－cosB）^2＋（sinA＋sinB）^2］，
AC＝√｛［1－cos（A＋B）］^2＋［0－sin（A＋B）］^2｝
＝√｛［1－cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2｝，
∴（cosA－cosB）^2＋（sinA＋sinB）^2＝［1－cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2，
∴（cosA）^2－2cosAcosB＋（cosB）^2＋（sinA）^2＋2sinAsinB＋（sinB）^2
＝1－2cos（A＋B）＋［cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2，
∴1－2cosAcosB＋1＋2sinAsinB＝1－2cos（A＋B）＋1，
∴－2cosAcosB＋2sinAsinB＝－2cos（A＋B），
∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB。追答
那么，A、B、C、D的坐标依次为：
（1，0）、（cosA，sinA）、（cos（A＋B），sin（A＋B））、（cos（－B），sin（－B））。
∵OD＝OA、OB＝OC、∠DOB＝∠AOC＝A＋B，∴△DOB≌△AOC，∴DB＝AC。
由两点间距离公式，有：
DB＝√｛［cosA－cos（－B）］^2＋［sinA－sin（－B）］^2｝
＝√［（cosA－cosB）^2＋（sinA＋sinB）^2］，
AC＝√｛［1－cos（A＋B）］^2＋［0－sin（A＋B）］^2｝
＝√｛［1－cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2｝，
∴（cosA－cosB）^2＋（sinA＋sinB）^2＝［1－cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2，
∴（cosA）^2－2cosAcosB＋（cosB）^2＋（sinA）^2＋2sinAsinB＋（sinB）^2
＝1－2cos（A＋B）＋［cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2，
∴1－2cosAcosB＋1＋2sinAsinB＝1－2cos（A＋B）＋1，
∴－2cosAcosB＋2sinAsinB＝－2cos（A＋B），
∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB。追答
大神，你现在几年级？
追答我不是什么大神...这个是我看过的一个帖子，因为以前我也不明白...所以就偷懒直接给你了
好东西大家一起分享嘛!
本回答被提问者采纳第2个回答 2015-02-28
记住就行了 考试不要求掌握它的推敲的
第3个回答 2015-02-28
。。。。。这是基本定理吧
第4个回答 2015-02-28
jhhh追问
干嘛
