用ε-N定义证明以下极限式:
当q的绝对值小于1,n趋近于无穷大时,n^2乘q^n的极限为0.
怎么证?
é¢ç®è¦æ±æ¯ç¨å®ä¹è¯æï¼æ以éè¦ç¨æ°åæéçå®ä¹å»è¯æè¿ä¸ªçæç«ã
å 为|q|<1ï¼æ å¯ä»¤|q|=1/(1+h)ï¼å ¶ä¸h>0ï¼ä»è|q|^n=1/[(1+h)^n]ã
è n 足å¤å¤§çæ¶åï¼æ
(1+h)^n = 1 + n*h + [n*(n-1)/(2*1)]*h^2 + [n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)]*h^3 + [n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/(4*3*2*1)]*h^4 + ... + h^n
æä»¬å ³å¿n^3çå¼åï¼
(1+h)^n > [n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)]*h^3 > [(n-2)^3]*(h^3)/6
æ以ï¼
|q|^n = 1/[(1+h)^n] < 6*(h^3)/[(n-2)^3]ï¼
ç±æ¤ï¼å¾å°æ们è¦è¯æç
(n^2)*(|q|^n) < (n^2)*6*(h^3)/[(n-2)^3] < [(2*n-6)^3]*6*(h^3)/[(n-3)^3] = 192*(h^3)/(n-3)ï¼
ä»»å ε > 0ï¼è¦ä½¿ |(n^2)*(|q|^n) - 0| < εï¼åªè¦ 192*(h^3)/(n-3) < εï¼
ä¹å°±æ¯è¯´åªè¦ n > 192*(h^3)/ε + 3ï¼æ å¯å N = [192*(h^3)/ε + 3]ï¼å ¶ä¸çä¸æ¬å·æ¯å192*(h^3)/ε + 3 çæ´æ°é¨åï¼
å½ n > N æ¶ï¼å°±æ |(n^2)*(|q|^n) - 0| < εã
æ以æ°åæéï¼lim(n^2)*(|q|^n)=0æç«ã
è¯æå®æ¯ã
è¡¥å 说æï¼å¯¹äº(n^m)*(|q|^n)ï¼å ¶ä¸mæ£æ´æ°ã
æéé½æ¯å¯ä»¥ç¨ä¸é¢çæ¹æ³æ¥è¯æçäº0çï¼åªè¦æ |q|åå½¢ä¸ä¸ï¼ååºå ¶ä¸ç n^(m+1)对åºç项ï¼æ´çä¸ä¸ï¼å°±å¯ä»¥è¯æå¦ã追é®
å 为|q|<1ï¼æ å¯ä»¤|q|=1/(1+h)ï¼å ¶ä¸h>0ï¼ä»è|q|^n=1/[(1+h)^n]ã
è n 足å¤å¤§çæ¶åï¼æ
(1+h)^n = 1 + n*h + [n*(n-1)/(2*1)]*h^2 + [n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)]*h^3 + [n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/(4*3*2*1)]*h^4 + ... + h^n
æä»¬å ³å¿n^3çå¼åï¼
(1+h)^n > [n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)]*h^3 > [(n-2)^3]*(h^3)/6
æ以ï¼
|q|^n = 1/[(1+h)^n] < 6*(h^3)/[(n-2)^3]ï¼
ç±æ¤ï¼å¾å°æ们è¦è¯æç
(n^2)*(|q|^n) < (n^2)*6*(h^3)/[(n-2)^3] < [(2*n-6)^3]*6*(h^3)/[(n-3)^3] = 192*(h^3)/(n-3)ï¼
ä»»å ε > 0ï¼è¦ä½¿ |(n^2)*(|q|^n) - 0| < εï¼åªè¦ 192*(h^3)/(n-3) < εï¼
ä¹å°±æ¯è¯´åªè¦ n > 192*(h^3)/ε + 3ï¼æ å¯å N = [192*(h^3)/ε + 3]ï¼å ¶ä¸çä¸æ¬å·æ¯å192*(h^3)/ε + 3 çæ´æ°é¨åï¼
å½ n > N æ¶ï¼å°±æ |(n^2)*(|q|^n) - 0| < εã
æ以æ°åæéï¼lim(n^2)*(|q|^n)=0æç«ã
è¯æå®æ¯ã
è¡¥å 说æï¼å¯¹äº(n^m)*(|q|^n)ï¼å ¶ä¸mæ£æ´æ°ã
æéé½æ¯å¯ä»¥ç¨ä¸é¢çæ¹æ³æ¥è¯æçäº0çï¼åªè¦æ |q|åå½¢ä¸ä¸ï¼ååºå ¶ä¸ç n^(m+1)对åºç项ï¼æ´çä¸ä¸ï¼å°±å¯ä»¥è¯æå¦ã追é®
q|^n = 1/[(1+h)^n] < 6*(h^3)/[(n-2)^3]ï¼
è¿ä¸æ¥ï¼h^3åºè¯¥å¨åæ¯å
æ©ï¼èªå·±åä»ç»æ¨ä¸ï¼ææ³æ¹æ³é½ç»äºä½
追é®åé¢å æ¥ä½ é½æh^3æ¾å¨ååäºï¼æ¯ä¸æ¯éäº
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答 2014-09-25
按定义证明
这个还是有点
这个还是有点