今天做题很疑惑
题目：比较0.999…… 和1的大小。
一眼看得出 1＞0.999……
但是要用上题过程，把0.999…… 改成分数
解：设X=0.999……
10X=9.999……
10X=9+X
9X=9
X=1
1=1
为什么？
迷惑迷惑……
.999……循环和1究竟哪个大?
这是个问题。
小学老师似乎是这样教的：要比较两个数的大小，从高位到低位依次比较……
小学生认为老师是不会骗人的。乖学生甲很聪明，立刻得出结论：0.999……循环比1小！
可是小松鼠乙用竖式除法发现一个奇怪的结论：
继续除下去，好像得到了1/1＝0.999……，这不就是1＝0.999……吗？
当然，这完全不能称之为证明，因为这毫无严格性。不过，数学具有两个面，它既是欧几里得式的严谨的科学，但同时也是别的什么，有时候数学需要点想象力。
更何况，你不妨先来个猜想：1＝0.999……然后看看这各式各样的证明有无道理：
利用关于实数的一个定理：设给定两实数a、b，若对于任意数e>0，存在有理数s和s'，使s'>a>s,s'>b>s，且s'-s<e，则a=b。
不过，这些证明真的没问题吗？既然我们下定决心要把这问题弄清楚，那么严密的逻辑推理就必须得到保证。里面的每一个等号，我们得说清楚，Why？而且，更重要的是，严密的逻辑推理大厦需要有坚实的地基，你不能把摩天大楼建立在流沙之上，也就是说，我们首先得明白我们所讨论的数学概念的定义，它不能是什么虚无飘渺、似是而非的东西。数学这门学问不仅仅是回答How和Why，它首先要弄清楚：What，是什么。或者说，你如何来定义你所谈论的东西。
可是，你确定小学时老师就已经把1这个概念清清楚楚的解释明白了吗，而不是不断地列举一个苹果、一个梨子之类的吗？现在我们要谈论数的大小比较，可我们似乎连数到底是什么都不好说，而所谓的数的大小，到底又是指的什么呢？这好比祖冲之在那兢兢业业地割圆，这工作需要人去做，可是，我们还是得要人去问一问，什么是圆，什么是曲线呢？在我们求圆的长度之前，我们怎么证明按我们的定义（假设已作出），这圆它有长度？而且，长度又是什么？
仔细研究下wikipedia上关于自然数的词条中的严格定义，我们想在小学就弄明白自然数的美好愿望看来是要破灭了。
不过，如果你的数学老师不想忽悠你，他可以这样开始他的微积分课程：让我们假设我们已经知道了什么是自然数、有理数，甚至实数。毕竟，数学家花尽心思严格地弄出一套实数理论后，它一定会和我们通常脑海中的实数概念，在某种程度上保持一致，你不必担心1＋1在某天被数学家宣布等于3。
可是我们现在面临的问题，可能会迫使我们动点真格，考虑一下这0.999……和1到底在数学上是什么。
好吧，终于谈到0.999……和1上来了，现在我们需要忘掉什么加减乘除极限之类的东西。那么首先，让我们说这哥俩是无意义的符号。而在“0.999……循环和1究竟哪个大”这个问题中，0.999……按一般观点，让我们把它算作实数（如果你要说它是有理数或自然数什么的，那是你的自由），可是得指出的是，在实数理论中，自然数1、有理数1和实数1是完全不同的对象，比如说有理数集并非实数集的子集，这就好像地球人和火星人（如果存在）的区别。那么，为了保持一致，我们现在不妨把1这个符号看成是实数1。
现在，为了最简单地说明我们的问题，我们可以只需假设我们已知什么是有理数以及其加减乘除和大小比较，虽然我们并不一定知道。但是我们不用担心这些有理数会和我们从小就熟悉的那些有理数之间会有些什么疙疙瘩瘩的。
在我们用已知的有理数定义清楚这两代表实数的符号0.999……和1后，如果它们此时按定义不同，我们再来定义序关系（也就是大小比较），如果你一定要定义然后使用实数的加减乘除，好吧我也无法反对。
拿什么工具来定义呢？这一定得有个源头，而且得让这源头没有源头，就像自然数集总得有个最小的自然数吧。这就是集合论，可能你早听说过，让我们相信它是可靠的吧。
考虑全体有理数集，将它分拆为两个非空集合A、A',也就是说，满足：（1）任一有理数，必在且仅在A及A'之一中出现；（2）集A内的任一有理数a，必小于集A'内的任一有理数a'。记为A|A'，称为（戴德金）分划，其中A称为分划的下组，A'为分划的上组。（见《微积分学教程》(第一卷)（菲赫金哥尔茨）P.6）
你完全可以无视上面这一段数学定义，不过实际上你花点时间仔细读一读，你就会领会其本质：Dedkind Cut，这名字就好像在告诉我们什么，没错，让我们想象我们熟悉的无限长的数轴，但上面只有有理数，此时它们表面上看起来已经密密麻麻了，而我们的戴德金先生，拿起一把餐刀，Cut，把这轴一份为二，然后，他拿起其中一份（这一份上的有理数恰好比令一份都要小），告诉我们，这就是一个实数。
根据我们的定义，那么一个实数x就是一个Cut A|A'，等价于只用其下组A来定义。但是这里有个小小的BUG，拿实数1来举例，它现在被定义为全体小于有理数1的有理数所构成的一个集合A，但是，有理数1在A中，还是在A'中呢？回答是都可以，但为了我们定义的一致性，也就是说为了说话方便而不引起乱子，我们一般约定1在A'中，这称为A|A'下无端。
你依然可以无视上面这一段，因为你只需要拿起戴德金先生的餐刀，瞄准有理数1，Cut！很好，你得到了实数1，等等，有理数1被你切得掉下来了，那么我们用胶水把它粘到哪一头呢？我想你明白了，回答是悉听尊便，不过，大家一般会把它粘到上面那一端，你看着办吧。
再看看这位：熟人，认出来了吧。不过这回的Cut需要点功夫，因为你瞄准的是x*x<2的那个位置，可是，你会发现，那里没有有理数居住，因而没有有理数掉下来。
这不是数学吗，那我讲个笑话（有点冷）：有位数学教授给学生讲一个定理的证明，讲到一半讲不下去了，于是他跑到黑板的一个角落里，很快地画了一个图形，想了想，然后又擦掉图形，回来接着讲定理的证明。
言归正传，由这个定义出发，我们可以得到一系列小学就熟悉的结论。但问题是，我们到底把0.999……又打算看成什么呢，或者说，这一刀又该怎么切呢？再切成吗，那不就跟刚才切下来的实数1一样了吗？恩，可为什么要不一样呢？定义成一样的问题不就解决了嘛。
为何要用戴德金的定义呢，这里有点微妙，其实你可以把1这符号看成而把0.999……看成那么集合！也就是说切下来的那个有理数1，粘哪一头对我们来说影响不大，不会把1＋1弄得等于3。
可能你会发现，每个人都可以自己定义自己的实数理论，但是它们都符合我们小学就习惯的用法（除非你非要定义1＋1＝3），那么我们不妨称它们是等价的。
当然，除戴德金的Cut外，实数也可以用无限小数来表示，这意味着，按此定义1啥都不是了，1.000……才是实数一，然而，0.999……则恰是另一种表示实数一的方法。然后你可以挑一种表示来建立起实数理论。
当然，你完全可以说，我已经承认这种或那种定义的实数及其法则，甚至建立起级数的概念了，而我偏偏要定义0.999……为0.999……=0.9+0.009+0.0009+……
那么我得说，恭喜你，你弄明白我要表达的意思了。
新手写作，望各位指点一下
1=0.999……这个并不是一种证明，这是一种“思想”。在牛顿以前，人们可能都认为1>0.999…，但牛顿引入微积分后，由“极限”的思想，直接认为1=0.999……。
这是很有道理的思想，由这个思想奠定了微积分。就像阿拉伯的十进制一样，这是一种思想，并不需要证明，没有人去证明1+9=10的。
这也牵涉到一些数学的“不可证明”的学说。就像欧拉建立在几何公理体系，用这个体系是不能证明平行公理的。后来就把平行公理不需要证明地加了进去。再如在“复数”没被提出的时候，是不可能证明有x满足x*x=-1的，后来干脆规定i*i=-1，从而奠定了复数的基础。也就是说在经典的数字体系里面，是不可能证明出1=0.9999……的，后来就把这个作为一个思想引出了微积分。
这是个问题。
小学老师似乎是这样教的：要比较两个数的大小，从高位到低位依次比较……
小学生认为老师是不会骗人的。乖学生甲很聪明，立刻得出结论：0.999……循环比1小！
可是小松鼠乙用竖式除法发现一个奇怪的结论：
继续除下去，好像得到了1/1＝0.999……，这不就是1＝0.999……吗？
当然，这完全不能称之为证明，因为这毫无严格性。不过，数学具有两个面，它既是欧几里得式的严谨的科学，但同时也是别的什么，有时候数学需要点想象力。
更何况，你不妨先来个猜想：1＝0.999……然后看看这各式各样的证明有无道理：
利用关于实数的一个定理：设给定两实数a、b，若对于任意数e>0，存在有理数s和s'，使s'>a>s,s'>b>s，且s'-s<e，则a=b。
不过，这些证明真的没问题吗？既然我们下定决心要把这问题弄清楚，那么严密的逻辑推理就必须得到保证。里面的每一个等号，我们得说清楚，Why？而且，更重要的是，严密的逻辑推理大厦需要有坚实的地基，你不能把摩天大楼建立在流沙之上，也就是说，我们首先得明白我们所讨论的数学概念的定义，它不能是什么虚无飘渺、似是而非的东西。数学这门学问不仅仅是回答How和Why，它首先要弄清楚：What，是什么。或者说，你如何来定义你所谈论的东西。
可是，你确定小学时老师就已经把1这个概念清清楚楚的解释明白了吗，而不是不断地列举一个苹果、一个梨子之类的吗？现在我们要谈论数的大小比较，可我们似乎连数到底是什么都不好说，而所谓的数的大小，到底又是指的什么呢？这好比祖冲之在那兢兢业业地割圆，这工作需要人去做，可是，我们还是得要人去问一问，什么是圆，什么是曲线呢？在我们求圆的长度之前，我们怎么证明按我们的定义（假设已作出），这圆它有长度？而且，长度又是什么？
仔细研究下wikipedia上关于自然数的词条中的严格定义，我们想在小学就弄明白自然数的美好愿望看来是要破灭了。
不过，如果你的数学老师不想忽悠你，他可以这样开始他的微积分课程：让我们假设我们已经知道了什么是自然数、有理数，甚至实数。毕竟，数学家花尽心思严格地弄出一套实数理论后，它一定会和我们通常脑海中的实数概念，在某种程度上保持一致，你不必担心1＋1在某天被数学家宣布等于3。
可是我们现在面临的问题，可能会迫使我们动点真格，考虑一下这0.999……和1到底在数学上是什么。
好吧，终于谈到0.999……和1上来了，现在我们需要忘掉什么加减乘除极限之类的东西。那么首先，让我们说这哥俩是无意义的符号。而在“0.999……循环和1究竟哪个大”这个问题中，0.999……按一般观点，让我们把它算作实数（如果你要说它是有理数或自然数什么的，那是你的自由），可是得指出的是，在实数理论中，自然数1、有理数1和实数1是完全不同的对象，比如说有理数集并非实数集的子集，这就好像地球人和火星人（如果存在）的区别。那么，为了保持一致，我们现在不妨把1这个符号看成是实数1。
现在，为了最简单地说明我们的问题，我们可以只需假设我们已知什么是有理数以及其加减乘除和大小比较，虽然我们并不一定知道。但是我们不用担心这些有理数会和我们从小就熟悉的那些有理数之间会有些什么疙疙瘩瘩的。
在我们用已知的有理数定义清楚这两代表实数的符号0.999……和1后，如果它们此时按定义不同，我们再来定义序关系（也就是大小比较），如果你一定要定义然后使用实数的加减乘除，好吧我也无法反对。
拿什么工具来定义呢？这一定得有个源头，而且得让这源头没有源头，就像自然数集总得有个最小的自然数吧。这就是集合论，可能你早听说过，让我们相信它是可靠的吧。
考虑全体有理数集，将它分拆为两个非空集合A、A',也就是说，满足：（1）任一有理数，必在且仅在A及A'之一中出现；（2）集A内的任一有理数a，必小于集A'内的任一有理数a'。记为A|A'，称为（戴德金）分划，其中A称为分划的下组，A'为分划的上组。（见《微积分学教程》(第一卷)（菲赫金哥尔茨）P.6）
你完全可以无视上面这一段数学定义，不过实际上你花点时间仔细读一读，你就会领会其本质：Dedkind Cut，这名字就好像在告诉我们什么，没错，让我们想象我们熟悉的无限长的数轴，但上面只有有理数，此时它们表面上看起来已经密密麻麻了，而我们的戴德金先生，拿起一把餐刀，Cut，把这轴一份为二，然后，他拿起其中一份（这一份上的有理数恰好比令一份都要小），告诉我们，这就是一个实数。
根据我们的定义，那么一个实数x就是一个Cut A|A'，等价于只用其下组A来定义。但是这里有个小小的BUG，拿实数1来举例，它现在被定义为全体小于有理数1的有理数所构成的一个集合A，但是，有理数1在A中，还是在A'中呢？回答是都可以，但为了我们定义的一致性，也就是说为了说话方便而不引起乱子，我们一般约定1在A'中，这称为A|A'下无端。
你依然可以无视上面这一段，因为你只需要拿起戴德金先生的餐刀，瞄准有理数1，Cut！很好，你得到了实数1，等等，有理数1被你切得掉下来了，那么我们用胶水把它粘到哪一头呢？我想你明白了，回答是悉听尊便，不过，大家一般会把它粘到上面那一端，你看着办吧。
再看看这位：熟人，认出来了吧。不过这回的Cut需要点功夫，因为你瞄准的是x*x<2的那个位置，可是，你会发现，那里没有有理数居住，因而没有有理数掉下来。
这不是数学吗，那我讲个笑话（有点冷）：有位数学教授给学生讲一个定理的证明，讲到一半讲不下去了，于是他跑到黑板的一个角落里，很快地画了一个图形，想了想，然后又擦掉图形，回来接着讲定理的证明。
言归正传，由这个定义出发，我们可以得到一系列小学就熟悉的结论。但问题是，我们到底把0.999……又打算看成什么呢，或者说，这一刀又该怎么切呢？再切成吗，那不就跟刚才切下来的实数1一样了吗？恩，可为什么要不一样呢？定义成一样的问题不就解决了嘛。
为何要用戴德金的定义呢，这里有点微妙，其实你可以把1这符号看成而把0.999……看成那么集合！也就是说切下来的那个有理数1，粘哪一头对我们来说影响不大，不会把1＋1弄得等于3。
可能你会发现，每个人都可以自己定义自己的实数理论，但是它们都符合我们小学就习惯的用法（除非你非要定义1＋1＝3），那么我们不妨称它们是等价的。
当然，除戴德金的Cut外，实数也可以用无限小数来表示，这意味着，按此定义1啥都不是了，1.000……才是实数一，然而，0.999……则恰是另一种表示实数一的方法。然后你可以挑一种表示来建立起实数理论。
当然，你完全可以说，我已经承认这种或那种定义的实数及其法则，甚至建立起级数的概念了，而我偏偏要定义0.999……为0.999……=0.9+0.009+0.0009+……
那么我得说，恭喜你，你弄明白我要表达的意思了。
新手写作，望各位指点一下
1=0.999……这个并不是一种证明，这是一种“思想”。在牛顿以前，人们可能都认为1>0.999…，但牛顿引入微积分后，由“极限”的思想，直接认为1=0.999……。
这是很有道理的思想，由这个思想奠定了微积分。就像阿拉伯的十进制一样，这是一种思想，并不需要证明，没有人去证明1+9=10的。
这也牵涉到一些数学的“不可证明”的学说。就像欧拉建立在几何公理体系，用这个体系是不能证明平行公理的。后来就把平行公理不需要证明地加了进去。再如在“复数”没被提出的时候，是不可能证明有x满足x*x=-1的，后来干脆规定i*i=-1，从而奠定了复数的基础。也就是说在经典的数字体系里面，是不可能证明出1=0.9999……的，后来就把这个作为一个思想引出了微积分。
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2012-01-09
没错啊~~~
本来0.99999.........就是等于1 的~~~~不知道你学高等数学没有~~~~我还专门写过文章讨论过这个很多人不能理解的问题~~~
简单说一下~~~数轴上每个点表示一个数，3-2=1表示数轴上3和2这个数的距离为1，而0.99999.......和1之间你是无法插入其他数的，也就是说，他们之间没有距离~~~即1-0.9999......=0，故二者相等~~~~
不知道你理解了吗~~~？？可以追问我~~~~~本回答被提问者采纳
本来0.99999.........就是等于1 的~~~~不知道你学高等数学没有~~~~我还专门写过文章讨论过这个很多人不能理解的问题~~~
简单说一下~~~数轴上每个点表示一个数，3-2=1表示数轴上3和2这个数的距离为1，而0.99999.......和1之间你是无法插入其他数的，也就是说，他们之间没有距离~~~即1-0.9999......=0，故二者相等~~~~
不知道你理解了吗~~~？？可以追问我~~~~~本回答被提问者采纳
第2个回答 2012-01-09
0.999学过循环小数化分数的都知道等于九百九十九风之九百九十九，等于一，所以也不全是错的啦
第3个回答 2012-01-09
错，你最后部分，9X=9就是个错误啊，你之前假设了X=0.999,那么，9X怎么等于9呢？
第4个回答 2012-01-09
错了，这应该是一个极致的问题，比如你把x换成0.999，那么你的式子明显错了，虽然那是无限循环，但是你乘以十之后，它的最后一位（无限之后了）比不成十的最后一位要高一位，所以等式不成立 个人理解，仅供参考
