如题所述
线性代数探索06：以映射视角解读线性方程组的核空间与象空间
在之前的篇章中，我们已经深入探讨了线性方程组解的奇妙特性，从简单的二元、三元方程组中自然引入了行列式和矩阵等核心概念。这一讲，我们将以线性映射的崭新视角，为线性方程组的研究画上完美句号，引领我们踏入《线性代数》的重头戏——线性空间和线性映射的殿堂。这是系列讲义的第六章，源自于精心设计的线性代数入门课程。
首先，让我们从线性空间的角度出发，重新审视线性方程组的内涵。将每个未知数的系数视为列向量，一个一般的线性方程组便转化为向量间的线性关系：
向量形式的线性方程组
若将系数向量记为 \( A_1, A_2, A_3, A_4 \)，非齐次项为 \( b \)，方程组可写为
\( A_1x_1 + A_2x_2 + A_3x_3 + A_4x_4 = b \)
这揭示了一个关键点：线性方程组有解，意味着非齐次项 \( b \) 可以由各系数向量线性表出，即 \( b \) 属于由 \( A_1, A_2, A_3, A_4 \) 构成的线性空间。若唯一解存在，则这四个系数向量必须线性无关，使得 \( b \) 的表出方式是唯一的。
进一步深入，我们发现线性方程组的解集合形成一个线性空间，即解空间。这是我们在《线性代数讲义02》中关于线性相关的延伸，揭示了方程组解的结构与线性空间的关联。
线性方程组的研究，实质上是对线性空间中向量关系的探索，如线性无关性、基底、子空间（解空间）以及维数等概念，这些都为理解方程组的解提供了全新的视角。
接下来，我们进入线性映射的世界。线性映射是线性代数的基石，它将线性方程组的解问题抽象为两个线性空间之间的映射关系。对于映射 \( T: V \rightarrow W \)，我们关注其核 \( \text{Null}(T) \) 和象 \( \text{Im}(T) \)，它们是映射行为的重要体现。
在方程组的表达中，非齐次线性方程组 \( Ax = b \) 可以转化为线性映射 \( T \) 对 \( x \) 的寻找，而其解的本质——\( b \) 在 \( V \) 中的线性表出，对应于映射的核。因此，理解核空间的结构，即解空间的构造，是研究线性方程组的关键所在。
线性映射的探讨让我们从更宏观的角度理解线性方程组，它不仅揭示了解的结构，也为我们提供了求解策略。在后续章节中，我们将更深入地研究这些核心概念，敬请期待。
作者：@Heshawn
以上内容由知乎『线性代数』系列Live主讲人独家分享，关注作者获取更多深度解析。
