已知F1F2为椭圆x²/9+y²/4=1的两个焦点,点P在椭圆上
(1)∠F1PF2的最大值
(2)△PF1F2面积最大值为
(3)当∠F1PF2=90°时候,△PF1F2面积为
帮个忙啊,谢谢了
不知道是不是我的做法有问题,第一问好麻烦,不过还是可以做出来的。
(1)设P(x,y)
tan∠F1PF2=tan(∠PF2x-∠PF1F2) (∠PF2x为△PF1F2外角)
设∠PF2x=β,∠PF1F2=α
所以tan∠F1PF2=tan(β-α)=(tanβ-tanα)/(1+tanα·tanβ)
由椭圆方程得到F1(-√5,0),F2(√5,0)
当x等于-√5或√5时,∠F1PF2为锐角(不是最大,下面可以看到,∠F1PF2可以是钝角)
当x不等于-√5或√5时
所以tanβ=y/(x-√5),tanα=y/(x+√5)
代入化简得到:
tan∠F1PF2=2√5y/(x^2+y^2-5)
因为点P在椭圆上,x^2=(36-9y^2)/4 (-2=<y<=2)
代入再化简得到:
tan∠F1PF2=8√5y/(16-5y^2)
由于椭圆关于x轴对称,所以可以只考虑0<=y<=2的情况:
当y=0时,从图象可以看到F1,P,F2共线,∠F1PF2=0度
当0<y<=2时,化简tan∠F1PF2消去分子中的未知数y
tan∠F1PF2=8√5/[(16/y)-5y]
现在来看分母:对0<y<=2,f(y)=(16/y)-5y为减函数,其取值范围为(-2,+∞)
当tan∠F1PF2<0时,∠F1PF2为钝角。
对(16/y)-5y∈(-2,0),tan∠F1PF2∈(-∞,-4√5)
所以y=2时,∠F1PF2有最大值,为钝角arctan(-4√5)
(2)设P(x,y)
△PF1F2面积S=(1/2)*F1F2*|y|=(1/2)*2√5*|y|
|y|最大值=2
所以△PF1F2面积最大值为2√5
(3)当∠F1PF2=90°时候,△PF1F2中
PF1^2+PF2^2=F1F2^2=20
因为点P在椭圆上,所以PF1+PF2=2a=6 (椭圆定义)
联立方程解得PF1=4,PF2=2或者PF1=2,PF2=4
无论哪种情况,△PF1F2面积S=(1/2)*PF1*PF2=4