如图:正方形ABCD边长为1,G为CD边上的一个动点(点G与C,D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H。
(1)求证:①△BCG≌△DCE;②BH⊥DE。
(2)当点G运动到什么位置时,BH垂直平分DE?请说明理由。
证明:(1)在正方形ABCD中,∠BCG=90°,BC=CD
在正方形GCEF中,∠DCE=90°,CG=CE
在△BCG和△DCE中, BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE
∴△BCG≌△DCE(SAS)
∴∠1=∠2
∵∠2+∠DEC=90°
∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°
∴BH⊥DE;
(2)当GC=√2-1时,BH垂直平分DE
连接EG
∵BH垂直平分DE
∴EG=DG
设CG=x
∵CE=CG,∠DCE=90°
∴EG=√2x,DG=√2x
∵DG+CG=CD
x+√2x=1解得x=√2-1
∴GC=√2-1时,BH垂直平分DE.
在正方形GCEF中,∠DCE=90°,CG=CE
在△BCG和△DCE中, BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE
∴△BCG≌△DCE(SAS)
∴∠1=∠2
∵∠2+∠DEC=90°
∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°
∴BH⊥DE;
(2)当GC=√2-1时,BH垂直平分DE
连接EG
∵BH垂直平分DE
∴EG=DG
设CG=x
∵CE=CG,∠DCE=90°
∴EG=√2x,DG=√2x
∵DG+CG=CD
x+√2x=1解得x=√2-1
∴GC=√2-1时,BH垂直平分DE.
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