如图：正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C,D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H。
（1）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE。
（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由。
证明：（1）在正方形ABCD中，∠BCG=90°，BC=CD
在正方形GCEF中，∠DCE=90°，CG=CE
在△BCG和△DCE中， BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE
∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴∠1=∠2
∵∠2+∠DEC=90°
∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°
∴BH⊥DE；
（2）当GC=√2-1时，BH垂直平分DE
连接EG
∵BH垂直平分DE
∴EG=DG
设CG=x
∵CE=CG，∠DCE=90°
∴EG=√2x，DG=√2x
∵DG+CG=CD
x+√2x=1解得x=√2-1
∴GC=√2-1时，BH垂直平分DE．
在正方形GCEF中，∠DCE=90°，CG=CE
在△BCG和△DCE中， BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE
∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴∠1=∠2
∵∠2+∠DEC=90°
∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°
∴BH⊥DE；
（2）当GC=√2-1时，BH垂直平分DE
连接EG
∵BH垂直平分DE
∴EG=DG
设CG=x
∵CE=CG，∠DCE=90°
∴EG=√2x，DG=√2x
∵DG+CG=CD
x+√2x=1解得x=√2-1
∴GC=√2-1时，BH垂直平分DE．
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