在长方形ABCD中,AE:ED=AF:AB=BG:GC.已知△EFC的面积为20,△FGD的面积为16,那么长

解：设AD=BC=a，AB=CD=b，且AE:ED=AF:AB=BG:GC＝t
则AE=tED，AF=tAB=tb，BG=tGC
所以FB=AB-AF=(1-t)b
又AE+ED=BG+GC=AD=BC=a
则易得AE=BG=a/(1+t)，ED=GC=ta/(1+t)
因为面积：S梯形ABCE=S三角形AEF+S三角形EFC+S三角形BCF
且S三角形EFC＝20
所以1/2*(AE+BC)*AB=1/2 *AE*AF +20 +1/2 *FB*BC
即[a/(1+t) +a]*b=[a/(1+t)]*tb+40+(1-t)b*a
ab[1/(1+t) +1- t/(1+t)+t-1]=40
ab[(1-t)/(1+t) +t]=40 (1)
又因为面积：S梯形BCDF=S三角形BGF+S三角形FGD+S三角形CDG
且三角形FGD的面积为16
所以1/2*(FB+CD)*BC=1/2 *FB*BG +16 +1/2 *GC*CD
即[(1-t)b+b]*a=(1-t)b*a/(1+t) +32 + [ta/(1+t)]*b
ab[2-t+(t-1)/(1+t) - t/(1+t)]=32
ab[2-t -1/(1+t)]=32 (2)
(1)除以(2)可得：
[(1-t)/(1+t) +t] / [2-t -1/(1+t)]=40/32=5/4
即4(1-t)/(1+t) +4t=10-5t -5/(1+t)
(9-4t)/(1+t)=10-9t
9-4t=-9t²+t+10
即9t²-5t-1=0
解得t=(5+√61)/18 （t=(5－√61)/18<0，不合题意，舍去）
将t代入(2)式可得：
ab { 2-(5+√61)/18 -1/[1+(5+√61)/18] }=32
ab[(31-√61)/18 - 18/(23+√61)]=32
ab[(31-√61)/18 - (23-√61)/26]=32
ab[(31-√61)/9 - (23-√61)/13]=64
ab[(13-√61)/9 + (3+√61)/13]=64
ab[(39-13√61 +27+9√61)/117]=64
即ab(66-4√61)=64*117
ab(33-2√61)=32*117
ab=32*117 / (33-2√61)=3734*(33-2√61) / 845
所以长方形ABCD的面积是3734*(33-2√61) / 845

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