自然数包括哪些?

如题所述

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第1个回答  推荐于2019-08-17

数学中,自然数指用于计数(如“桌子上有三个苹果”)和定序(如“国内第三大城市”)的数字。用于计数时称之为基数,用于定序时称之为序数。

自然数的定义不一,可以指正整数 1,2,3,4,亦可以指非负整数 0,1,2,3,4。前者多在数论中使用,后者多在集合论和计算机科学中使用,也是 ISO 80000-2 标准中所采用的定义。

数学家一般以N代表以自然数组成的集合。自然数集是一个可数的,无上界的无穷集合。

拓展资料:

在中国大陆,2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内,或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中,普遍将0列入自然数。

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第2个回答  推荐于2017-05-01
自然数就是我们常说的正整数和0。
即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0), 一个接一个,组成一个无穷的集体。本回答被网友采纳
第3个回答  2019-09-07
自然数可分为质数、合数、1

0。
质数,又叫素数,指的是如果一个数除了被1和自身这两个数整除之外,不能被其他任何数整除,就称为质数,否则就是合数。
被1整除的只有1,所以1既不是质数又不是合数;
2只能被1和2整除,而除了2以外的任何一个偶数至少有1,2,还有自己,所以只要这个偶数不是2,就一定是合数。
由意大利数学家G
皮亚诺提出来的序数理论,他总结了自然数的性质,并用公理法给出了自然数的定义:自然数集N是指满足以下条件的集合。
1、N中有一个元素记作1
2、N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者;
3、1是0的后继者
4、0不是任何元素的后继者
5、不同元素有不同的后继者
6、基数理论都把0归为自然数的范畴,因为从集合论的角度,把0作为空集的基数,这样所有有限集合的基数都可以用自然数来刻画了。
7、目前在上际上,大多数国家都把0纳入自然数集内,为了国际交流的方便,中国也在1993年制定的新标准将0纳入自然数集合中。
扩展资料
自然数的整体对于+来说叫做闭合。由于乘法也是自然数的相乘,是加法的重复,因此也能自由地进行。也就说自然数的整体对于×是闭合的。所以在只考虑+或×的时候。只要自然数就够用,没有必要再考虑新的数。
可是要考虑×的逆运算÷的时候,自然数就不再闭合。因为任意取两个自然数作除法结果却不一定是自然数。例如2÷3的结果就不是自然数。
自然数的范围太狭窄了,要想自由地进行除法运算,就必须增加新的数,这就是分数。在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内,+,×,÷就可以自由地进行。
然而,想到+的逆运算-的时候,这个范围又窄了。因为不能从小数减去大数,例如2-5,即使写出这个式子,也得不出答案。为了让这个式子也能有答案,就必须想出-3这样一个新数。
也就是说要自由地做-运算,需要有一种新的数——负数。把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数,即有理数时,+,-,×,÷四则运算可以自由的无限制地进行。换句话说有理数对于四则运算是闭合的。
第4个回答  2006-09-06
1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为

N={0,1,2,3,…}

而将原自然数集称为非零自然数集

N+(或N*)={1,2,3,…}.

自然数集扩充后,文[1]中的自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之起变化,这给数学教学与数学应用产生一定影响.为此,我们将自然数的基数理论讨论如下.

1 对自然数的来源的认识

由于自然数的概念是建立在基数理论[1]之上的,基数是由集合对等而来.最初人类对物品的计数,是将物品与人的手指(脚趾)数形成映射关系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“没有”,“没有”即可认为是空集,其计数应当是零.这就是说,零与非零自然数是人类认识同步的客观现象,而并非是6世纪才有零的概念.也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一.事实上,国外许多文献和专家早就主张将零作为第一个自然数.

2 自然数的新概念

自然数扩充后,包含了空集的基数,要去掉原有自然数定义中“非空”的限制条件,即定义1 有限集合的基数叫做自然数.根据对等的概念,可以建立N与N+的一一映射关系f:

N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}

由此可见,N与N+有相同的基数,即|N|=|N+|.

3 自然数的四则运算

自然数加法、乘法运算义定只要去掉原有定义中的“非空”二字即可,亦即

定义2 设有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分离).若记A∪B=C,集合A,B,C的基数分别是a,b和c,那么c叫做a与b的和,记作

a+b=c.

a和b叫做加数.求两个数的和的运算叫做加法.

定义3 设有m(m>1)个相互对等,且两两分离的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它们的基数都是n.又设A=Umi=1Ai,A的基数记作

a,即有a=n+n+…+nm个,这个a就叫做n乘以m的积,记作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n称为被乘数,m称为乘数.求两个数积的运算叫做乘法.

对于数0,1,补充义定:n和0的积是0,n和1的积是n,即n.0=0,n.1=1.

在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立.

关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即

定义4 设有有限集合A和B,B A,若记A-B=C,且A,B,C的基数分别记作a,b,c,那么c叫做a,b的差,记作

a-b=c.

a叫做被减数,b叫做减数.求两个数差的运算叫做减法.

除法是乘法的逆运算,在原定义中要限定“除数非零”即可.

定义5 设a,b(b≠0)是两个自然数,如果存在一个自然数c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,记作

ab=c,或a÷b=c.

a称为被除数,b称为除数.求两个数商的运算叫做除法.

4 自然数的有关性质

(1)自然数的有序性决定了自然数可以比较大小,即

定义6 如果两个有限集合A,B的基数分别为a,b,那么

1° 当A A′,A′~B时,a>b;
2° 当B′ B,A~B′时,a<b;
3° 当A~B时,a=b.

自然数有反身律:a=a;对称律:若a=b,则b=a;传递律:若a≥b,b≥c,则a≥c.

自然数从小到大的排序为

0,1,2,3,….

(2)自然数的单调性反映了不等量关系中的运算性质,扩充后的自然数其单调性有了局部性改变,即

若a≥b,则

1° a+c≥b+c;
2° 当c>0时,ac≥bc,
当c=0时,ac=bc.

对于与自然数有关的数学论证与原理,应随自然数扩充后作相应调整.如数学归纳法证明的步骤应是

1° 验证n=0时,命题成立;
2° 假设n=k-1时成立,则n=k时命题成立.

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