椭圆x^2+4y^2=4的长轴上的一顶点为A做Rt△ABC,BC在椭圆上,证明:BC过定点

解：当直线BC垂直于x轴时，设方程为：x=m; 此时三角形ABC是等腰直角三角形；
B(m,2-m),代入椭圆方程：m²＋4(2-m)²=4,即：5m²-16m+12=0
解得： m=2（舍去），或m=6/5. 直线BC方程：x=6/5;
当直线BC斜率存在时，设直线BC：y=kx+n,B(x₁,y₁),C(x₂,y₂)
y=kx+n与x²+4y²=4联立得：（1+4k²)x²+8nkx+4n²-4=0;
x₁+x₂=-8nk/(1+4k²); x₁x₂=4(n²-1)/(1+4k²)
因为：ABC是直角三角形，AC⊥AB，所以kAC×kAB=-1
[y₂/(x₂-2)][y₁/(x₁-2)]=-1; y₁y₂+(x₁-2)(x₂-2)=0
(kx₁+n)(kx₂+n)+(x₁-2)(x₂-2)=0; (1+k²)x₁x₂+(kn-2)(x₁+x₂)+n²+4=0;
4(n²-1)(1+k²)/(1+4k²)-8nk(kn-2)/(1+4k²)+n²+4=0;
5n²+16nk+12k²=0, n=-2k,或n=-6k/5
此时直线BC方程：y=k(x-2),或y=k(x-6/5);
直线BC过A（2，0）不符合题意；
所以直线BC：y=k(x-6/5) 过定点（6/5,0)
所以无论BC斜率存在与不存在，都有：直线BC过定点（6/5,0)

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