如题所述
我们把平面上横坐标和纵坐标都为有理数的点称为 有理点.
平面上的有理点
显然，平面上的有理点有无穷多个，甚至不难证明它们在整个平面内是稠密的，即密密麻麻地铺满了整个平面. 设想一下，如果我们在平面上随手画一条曲线，直觉上我们可能认为这根曲线应该会经过无限多个有理点，也就是说曲线上有无限多个有理点.
但事实上并非一定如此！比如我们非常熟悉的曲线，它除了
外没有其他任何有理点，也就是说它非常神奇地避开了处处稠密的有理点，这就挺反直觉的.
y=e^x 上只有一个有理点 (0, 1)
要想弄清楚这种神奇的现象，我们首先得知道下述概念和结论：
线性相关：
设，若存在不全为零的数，使得则我们称在上线性相关.否则，称
线性无关.
代数相关：
若存在非零多项式
代数相关
代数无关
Lindemann-Weierstrass 定理：
若为的代数数，则现在我们来说说为什么曲线上只有这么一个有理点.若为有理数，则上线性无关的代数数.我们由
Lindemann-Weierstrass 定理知
上代数无关，即不存在非零多项式.从而为超越数，这说明为无理数.由此可知曲线上除了有理点外没有其他任何有理点.
类似地，由，我们还能找到下面这些与有这种类似性质的曲线：曲线
对数曲线 y=lnx
正弦曲线 y=sinx
余弦曲线 y=cosx
以上这些曲线都是超越的，其实很多代数曲线也有这种性质：椭圆曲线上没有任何有理点！
椭圆曲线 y^2=x^3+6和
椭圆曲线 y^2=x^3+1
除此之外，著名的Mordell-Faltings 定理
告诉我们所有亏格的光滑的代数曲线只有有限多个有理点，再由亏格公式
次以上的光滑的代数曲线只有有限多个有理点.例如当时，
Fermat 曲线只有有限多个有理点.当然，现在我们由
Fermat 大定理知道当为偶数时，只有四个有理点，而当为奇数时，两个有理点.
Fermat 曲线 x^4+y^4=1
Fermat 曲线 x^5+y^5=1
