离心率为e=1/2,且过椭圆形右焦点F2的直线L与椭圆C交于M,N两点
1)求椭圆c的方程
1,抛物线的焦点为(0,2根号3),其在椭圆C上,故:b=2根号3(b>0),
又e=1/2,即:根号[1-(b/a)^2]=1/2,代入b,解得:a=4 (a>0),
故椭圆C的方程为:x^2/16+y^2/12=1。
2,椭圆C的右焦点F2的坐标为(2,0),直线L过F2,可设直线L方程为:
y=k(x-2),直线L与椭圆交于M、N两点,
设M、N两点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),
因为OM.ON=-2,即x1x2+y1y2=-2
而将y=k(x-2)代入椭圆方程,化简可得: (4k^2+3)x^2-16k^2x+16k^2-48=0,
故x1x2=(16k^2-48)/(4k^2+3),
将x=y/k+2 代入椭圆方程,化简可得: (4k^2+3)y^2+12ky-36k^2=0
故 y1y2=-36k^2/(4k^2+3),
所以(16k^2-48)/(4k^2+3)-36k^2/(4k^2+3)= -2,解得:k无解。
所以满足条件的直线L不存在。
3,设过原点O的椭圆C的弦AB所在的直线方程为:y=kx,
MN//AB,MN过F2(2,0),则MN所在的直线方程为:y=k(x-2),
将y=kx,x=y/k分别代入椭圆方程,利用伟达定理,可求出:
|AB|=4根号[12(k^2+1)/(4k^2+3)];
将y=k(x-2),x=y/k+2分别代入椭圆方程,利用伟达定理,可求出:
|MN|=24(k^2+1)/(4k^2+3)。
所以|AB|^2/|MN|=8,为定值。
又e=1/2,即:根号[1-(b/a)^2]=1/2,代入b,解得:a=4 (a>0),
故椭圆C的方程为:x^2/16+y^2/12=1。
2,椭圆C的右焦点F2的坐标为(2,0),直线L过F2,可设直线L方程为:
y=k(x-2),直线L与椭圆交于M、N两点,
设M、N两点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),
因为OM.ON=-2,即x1x2+y1y2=-2
而将y=k(x-2)代入椭圆方程,化简可得: (4k^2+3)x^2-16k^2x+16k^2-48=0,
故x1x2=(16k^2-48)/(4k^2+3),
将x=y/k+2 代入椭圆方程,化简可得: (4k^2+3)y^2+12ky-36k^2=0
故 y1y2=-36k^2/(4k^2+3),
所以(16k^2-48)/(4k^2+3)-36k^2/(4k^2+3)= -2,解得:k无解。
所以满足条件的直线L不存在。
3,设过原点O的椭圆C的弦AB所在的直线方程为:y=kx,
MN//AB,MN过F2(2,0),则MN所在的直线方程为:y=k(x-2),
将y=kx,x=y/k分别代入椭圆方程,利用伟达定理,可求出:
|AB|=4根号[12(k^2+1)/(4k^2+3)];
将y=k(x-2),x=y/k+2分别代入椭圆方程,利用伟达定理,可求出:
|MN|=24(k^2+1)/(4k^2+3)。
所以|AB|^2/|MN|=8,为定值。
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答 2011-12-09
抛物线C:x^2 = 4√3y = 2*2√3*y,其中p=2√3,焦点坐标(0,√3)
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的顶点与抛物线C:x^2=4√3y的焦点重合,b=√3
离心率e = √(a^2-b^2)/a = √(a^2-3)/a=1/2
a=2√(a^2-3)
a^2=4a^2-12
a=2
椭圆c的方程:x^2/4+y^2/3=1追问
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的顶点与抛物线C:x^2=4√3y的焦点重合,b=√3
离心率e = √(a^2-b^2)/a = √(a^2-3)/a=1/2
a=2√(a^2-3)
a^2=4a^2-12
a=2
椭圆c的方程:x^2/4+y^2/3=1追问
2)是否存在直线L,使得om.on=-2.若存在,求出直线L的方程;如不存在说明理由。
3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN平行AB,求证: ︱MN︱分之︱AB︱^2为定值.
第2个回答 2011-12-09
抛物线C:x^2=4的焦点 (0,√3)
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的顶点与抛物线C:x^2=4√3y的焦点重合,
b=√3
离心率为e=c/a=1/2, 2c=a
c^2=a^2-b^2
c^2=4c^2-3 c^2=1
a^2=4
椭圆c的方程 x^2/4+y^2/3=1追问
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的顶点与抛物线C:x^2=4√3y的焦点重合,
b=√3
离心率为e=c/a=1/2, 2c=a
c^2=a^2-b^2
c^2=4c^2-3 c^2=1
a^2=4
椭圆c的方程 x^2/4+y^2/3=1追问
2)是否存在直线L,使得om.on=-2.若存在,求出直线L的方程;如不存在说明理由。
3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN平行AB,求证: ︱MN︱分之︱AB︱^2为定值