1。 求x趋0+时, (1-x^sinx)/(xlnx) 的极限
2。求x趋正无穷时, (派/2 - arctanx)^1/lnx 的极限
麻烦详细一点,谢谢~
1ã æ±xè¶0+æ¶ï¼(1-x^sinx)/(xlnx) çæé
解ï¼xâ0+lim(1-x^sinx)/(xlnx)=xâ0+lim(1-x^x)/xlnx...........(1)
ç±äºxâ0+limx^x=xâ0+lime^(xlnx)=xâ0+lime^[(lnx)/(1/x)]
=xâ0+lime^[(1/x)/(-1/x²)]=xâ0+lime^(-x)=1
xâ0+limxlnx=xâ0+lim(lnx)/(1/x)=xâ0+lim[(1/x)/(-1/x²)]=xâ0+lim(-x)=0
æ (1)æ¯0/0åï¼å¯ä»¥ä½¿ç¨ç½å¿ è¾¾æ³åï¼å ¶ä¸(x^x)â²=(x^x)(1+lnx)
äºæ¯xâ0+lim(1-x^sinx)/(xlnx)=xâ0+lim(1-x^x)/xlnx=xâ0+lim[1-x^x(1+lnx)]/[1+lnx]
=xâ0+lim[1/(1+lnx)-x^x]=[xâ0+lim[1/(1+lnx)]-[xâ0+lim(x^x)]=0-1=-1
2ãæ±xè¶æ£æ ç©·æ¶ï¼ (Ï/2 - arctanx)^(1/lnx )çæé
解ï¼xâ+âlim(Ï/2 - arctanx)^(1/lnx )=xâ+âlime^[(1/lnx)ln(Ï/2-arctanx)](eçææ°æ¯â/âå)
å¨eçææ°ä¸ä½¿ç¨ç½å¿ è¾¾æ³åï¼
å ¶ä¸[ln(Ï/2-arctanx)]â²=-[1/(1+x²)]/(Ï/2-arctanx)=-1/[(1+x²)(Ï/2-arctanx)]ï¼(lnx)â²=1/xï¼
æ xâ+âlim(Ï/2 - arctanx)^(1/lnx )=xâ+âlime^[ln(Ï/2-arctanx)/lnx]
=xâ+âlime^{-x/[(1+x²)(Ï/2-arctanx)]}
=xâ+âlime^{-[x/(1+x²)]/(Ï/2-arctanx)} âµ(xâ+âlim[x/(1+x²)]=0ï¼xâ+âlim(Ï/2-arctanx)=0)
=xâ+âlime^{[-(1-x²)/(1+x²)²]/[-1/(1+x²)]
=xâ+âlime^[(1-x²)/(1+x²)]=xâ+âlime^[(1/x²-1)/(1/x²+1)]=e^(-1)=1/e
解ï¼xâ0+lim(1-x^sinx)/(xlnx)=xâ0+lim(1-x^x)/xlnx...........(1)
ç±äºxâ0+limx^x=xâ0+lime^(xlnx)=xâ0+lime^[(lnx)/(1/x)]
=xâ0+lime^[(1/x)/(-1/x²)]=xâ0+lime^(-x)=1
xâ0+limxlnx=xâ0+lim(lnx)/(1/x)=xâ0+lim[(1/x)/(-1/x²)]=xâ0+lim(-x)=0
æ (1)æ¯0/0åï¼å¯ä»¥ä½¿ç¨ç½å¿ è¾¾æ³åï¼å ¶ä¸(x^x)â²=(x^x)(1+lnx)
äºæ¯xâ0+lim(1-x^sinx)/(xlnx)=xâ0+lim(1-x^x)/xlnx=xâ0+lim[1-x^x(1+lnx)]/[1+lnx]
=xâ0+lim[1/(1+lnx)-x^x]=[xâ0+lim[1/(1+lnx)]-[xâ0+lim(x^x)]=0-1=-1
2ãæ±xè¶æ£æ ç©·æ¶ï¼ (Ï/2 - arctanx)^(1/lnx )çæé
解ï¼xâ+âlim(Ï/2 - arctanx)^(1/lnx )=xâ+âlime^[(1/lnx)ln(Ï/2-arctanx)](eçææ°æ¯â/âå)
å¨eçææ°ä¸ä½¿ç¨ç½å¿ è¾¾æ³åï¼
å ¶ä¸[ln(Ï/2-arctanx)]â²=-[1/(1+x²)]/(Ï/2-arctanx)=-1/[(1+x²)(Ï/2-arctanx)]ï¼(lnx)â²=1/xï¼
æ xâ+âlim(Ï/2 - arctanx)^(1/lnx )=xâ+âlime^[ln(Ï/2-arctanx)/lnx]
=xâ+âlime^{-x/[(1+x²)(Ï/2-arctanx)]}
=xâ+âlime^{-[x/(1+x²)]/(Ï/2-arctanx)} âµ(xâ+âlim[x/(1+x²)]=0ï¼xâ+âlim(Ï/2-arctanx)=0)
=xâ+âlime^{[-(1-x²)/(1+x²)²]/[-1/(1+x²)]
=xâ+âlime^[(1-x²)/(1+x²)]=xâ+âlime^[(1/x²-1)/(1/x²+1)]=e^(-1)=1/e
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第1个回答 2011-12-10
1
lim(x- 0+) (1-x^sinx)/xlnx
(x^sinx)' y=x^sinx lny=sinxlnx y'/y=sinx/x+cosxlnx y'=(sinx/x+cosxlnx)*x^sinx
=lim(1-x^sinx)'/(xlnx)'
=lim(sinx/x+cosxlnx)*x^sinx/(lnx+1)
=1
2
lim(x→∞) (π/2-arctanx)^(1/lnx)
=lim(x→∞) (π/2)^(1/lnx) *(1-arctanx/(π/2))^(1/lnx)
=lim(x→∞) (π/2)^(1/lnx)*[(1-arctanx/(π/2))^((-π/2)/arctanx)]^[arctanx/lnx]^(-π/2)
lim(x→∞) (π/2)^(1/lnx)=1 lim(x→∞) [1-arctanx/(π/2) ^(-(π/2)/arctanx)=e
lim(x→∞) arctanx/lnx=lim(x→∞) (arctanx)'/(lnx)'=1/(1+x^2)/(1/x)=x/(1+x^2)=1/(1/x+x)=0
=1
lim(x- 0+) (1-x^sinx)/xlnx
(x^sinx)' y=x^sinx lny=sinxlnx y'/y=sinx/x+cosxlnx y'=(sinx/x+cosxlnx)*x^sinx
=lim(1-x^sinx)'/(xlnx)'
=lim(sinx/x+cosxlnx)*x^sinx/(lnx+1)
=1
2
lim(x→∞) (π/2-arctanx)^(1/lnx)
=lim(x→∞) (π/2)^(1/lnx) *(1-arctanx/(π/2))^(1/lnx)
=lim(x→∞) (π/2)^(1/lnx)*[(1-arctanx/(π/2))^((-π/2)/arctanx)]^[arctanx/lnx]^(-π/2)
lim(x→∞) (π/2)^(1/lnx)=1 lim(x→∞) [1-arctanx/(π/2) ^(-(π/2)/arctanx)=e
lim(x→∞) arctanx/lnx=lim(x→∞) (arctanx)'/(lnx)'=1/(1+x^2)/(1/x)=x/(1+x^2)=1/(1/x+x)=0
=1
第2个回答 2011-12-10
洛必达法则