各位数学高手看看怎么做？正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6，求此正方形的边

√首先要向伟大的法国数学家费马致敬，因为我接下来的证明将有用到他有关于“费马点”的证明：

如图，P'为一动点位于BD上，P为BD中点:

P'P=a*(√2/2)*tanM

P'A=a*(√2/2)/cosM=P'C

P'B=PB-P'P=a*(√2/2)(1-tanM)

所以P'B+P'A+P'C=a*[√2*secM+(√2/2)(1-tanM)]=F(M)

对F(M)求导数：

F'(M)=a*[(√2*secM*tanM)-(√2/2)(secM)^2],

令F'(M)=0则有：

a*(√2*secM*tanM)=a*(√2/2)*(secM)^2

同时在方程左右除以a*secM≠0,得：

√2*tanM=(√2/2)*secM

求得sinM=1/2

所以M=30°

再次验证是极小值点，对F(M)求2阶导数有：

F''(M)=√2*a[(secM)^3+(tanM)^2*secM]-√2*a(secM)^2*tanM

代入M=30°有F''(30°)=√2*a[8/(3*√3)+2/(3*√3)]-√2*a(4/3*√3/3)

=√2*a[10/(3*√3)-4/(3*√3)]=(6√6)*a/9>0

一阶导数等于零，二阶导数大于零，则此点为极小值点。

当M=30°时，    

F(M)=a*[(√2*2/√3)+(√2/2)(1-√3/3)]=a*[2√6/3+√2/2-√6/6]

=a/6*[3√2-3√6],由于题设给出了F(M)=√2+√6.所以a=2

费马点是与三点连线所成的三个角都是120°的点。

经计算

AP'C=BP'C=AP'B=120°是费马点，这就是我开头所写的话的原因。

这就是为什么蜂房的建造，蜜蜂总是把蜂房分成六角形的原因，节约材料a

感谢楼主出的三角形是特殊三角形，不然以我的功力根本解不出来这个题，

请楼主多多留意关于费马点的概念及性质！楼上的解法明显有问题，而且答案也错了，对于一般人来讲，可以通过sin15°=1/4(√6-√2)

cos15°=1/4（√6+√2）猜测此题肯定与15°角有关，事实确是如此，BAP'=15°=BCP',可以在省略以上证明的情况下试算边长与题设的对应情况以解题！