如题所述
复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位(即-1开根)。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法,诸如向量表示、三角表示,指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。 复数的定义
数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解。因此将数集再次扩充,达到复数范围。
我们定义,形如z=a+bi的数称为复数,其中规定i为虚数单位,且i^2=i*i=-1(a与b是任意实数)
我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部(real part)记作Rez=a
实数b称为虚数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.
易知:当b=0时,z=a+ib=a+0,这时复数成为实数;
当a=0时z=a+bi=0+bi我们就将其称为纯虚数。
设z=a+bi是一个复数,则称复数z‘=a-bi为z的共轭复数。
定义:复数的模(绝对值)=√(a^2+b^2)(定义原因见下述内容)
复数的集合用C表示,显然,R∩C=R(即R是C的真子集)
复数(代数式)的四则运算:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,
(a+bi)??(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,
(c与d不同时为零)
(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd) / (c^2+d^2)]+[(bc-ad) / (c^2+d^2)] i,
(c+di)不等于0
复数的其他表达
复数有多种表示形式,常用形式z=a+bi 叫做代数形式。
下面介绍另外几种复数的表达形式。
①几何形式。
在直角坐标系中,以x为实轴,y为虚轴,O为原点形成的坐标系叫做复平面(见本词条附图)
这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定
复数z=a+bi 用复平面上的点 z(a,b )表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点,点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式
z=r(cosθ+sinθi)
式中r= sqrt(a^2+b^2),叫做复数的模(即绝对值);θ 是以x轴为始边;向量OZ为终边的角,叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指数形式。将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ),复数就表为指数形式z=rexp(iθ)
复数三角形式的运算:
设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
z1÷z2=r1÷r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ),那么z^n=r^n(cosnθ+isinnθ),n√z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=1,2,3……)必须记住:z的n次方根是n个复数。
复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是:开方运算永远可行;一元n次复系数方程总有n个根(重根按重数计);复数不能建立大小顺序。
复数中的重要定理:迪莫佛定理(De Morie's Theorem)
若有一复数z=cosθ+isinθ,则 z^n=cos(nθ)+isin(nθ)
若z^n=a, 则z=n√a[cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)] ,n∈N ,n=1,2,3.....(n-1)
有帮助请记得好评,新问题请重新发帖提问,谢谢
数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解。因此将数集再次扩充,达到复数范围。
我们定义,形如z=a+bi的数称为复数,其中规定i为虚数单位,且i^2=i*i=-1(a与b是任意实数)
我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部(real part)记作Rez=a
实数b称为虚数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.
易知:当b=0时,z=a+ib=a+0,这时复数成为实数;
当a=0时z=a+bi=0+bi我们就将其称为纯虚数。
设z=a+bi是一个复数,则称复数z‘=a-bi为z的共轭复数。
定义:复数的模(绝对值)=√(a^2+b^2)(定义原因见下述内容)
复数的集合用C表示,显然,R∩C=R(即R是C的真子集)
复数(代数式)的四则运算:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,
(a+bi)??(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,
(c与d不同时为零)
(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd) / (c^2+d^2)]+[(bc-ad) / (c^2+d^2)] i,
(c+di)不等于0
复数的其他表达
复数有多种表示形式,常用形式z=a+bi 叫做代数形式。
下面介绍另外几种复数的表达形式。
①几何形式。
在直角坐标系中,以x为实轴,y为虚轴,O为原点形成的坐标系叫做复平面(见本词条附图)
这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定
复数z=a+bi 用复平面上的点 z(a,b )表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点,点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式
z=r(cosθ+sinθi)
式中r= sqrt(a^2+b^2),叫做复数的模(即绝对值);θ 是以x轴为始边;向量OZ为终边的角,叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指数形式。将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ),复数就表为指数形式z=rexp(iθ)
复数三角形式的运算:
设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
z1÷z2=r1÷r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ),那么z^n=r^n(cosnθ+isinnθ),n√z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=1,2,3……)必须记住:z的n次方根是n个复数。
复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是:开方运算永远可行;一元n次复系数方程总有n个根(重根按重数计);复数不能建立大小顺序。
复数中的重要定理:迪莫佛定理(De Morie's Theorem)
若有一复数z=cosθ+isinθ,则 z^n=cos(nθ)+isin(nθ)
若z^n=a, 则z=n√a[cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)] ,n∈N ,n=1,2,3.....(n-1)
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