如图所示,光滑绝缘轨道ABCD位于同一竖直面内,水平部分AB=L,3/4圆弧轨道BCD的圆心为0,半径为R,B点是最低点,c点是最高点,0、D同一水平高度.整个装置位于水平向右的匀强电场中,电场强度E.现有一质量为m、带电量为+q的光滑小球从A点由静止开始运动,已知小球能够沿BCD圆轨道到达D点.求:(1)小球到C点时的速度vc多大?(2)若已知E=mgq,小球在轨道BCD上哪点速度最小?L至少是R的多少倍才能取得该最小速度?
以带电小球为研究对象,运动时受重力、电场力和接触面的弹力,其中,重力和电场力为恒力,弹力不做功,小球能运动到D点,设小球运动到C点的速度为v
c,
(1)、以A到C为研究过程,由动能定理得:EqL-mg?2R=
mV
c2 解之得:v
c=
(2)、当E=
时,即Eq=mg
小球在运动中只有重力和电场力做功且为恒力,根据力的合成法则,二力的合力方向偏右下方与水平方向成45°,带电小球在CD运动中,二力的合力先做负功,后做正功时,其速度先减小后逐渐增大,当运动到CD所在圆弧的中点E时,其二力的合力的方向与运动方向垂直,故带电小球运动到E点时,速度最小.
由几何关系知,E点到A点的高度为:h
EA=R+Rsin45°…①
E点到A点的水平距离为:h
1EA=L-Rcos45°…②
以A→B→C→E为研究过程,在E点的速度为v
E,由动能定理得:
-mg(R+Rsin45
0)+Eq(L-Rcos45
0)=
mv
2E …③
小球能运动到D点,所以在E点的至少满足:二力的合力提供向心力.由牛顿第二定律得:
mg=
…④
联立①②③④解之得:L=(1+
)R
答:(1)、小球到C点时的速度
;
(2)、若已知
E=,小球在轨道BCD上运动到CD所在圆弧的中点E速度最小;L至少是R的(1+
)倍才能取得该最小速度.
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