如题所述
初一找规律的数学题及解题方法:
一、基本方法:看增幅
(一)如增幅相等(此数列实为等差数列):对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为:a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
例:4、10、16、22、28,求第n位数。
分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是:4+(n-1)×6=6n-2。
(二)如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也就是说增幅是等差数列)。如数列2、5、10、17、26等,其增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是:
1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅。
2、求出第1位到第第n位的总增幅。
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
举例说明:2、5、10、17、26,求第n位数。
分析:数列的增幅分别为:3、5、7、9,增幅以同等幅度增加。那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是:3+2×(n-2)=2n-1。数列第1位到第n位的总增幅为:第一位到第二位的增幅加上第n-1位到第n位的增幅,乘以数列第1位到第n位增幅的项数,再除以2,即:
[3+(2n-1)]×(n-1)÷2=(n+1)×(n-1)=n2-1,所以,第n位数是:2+ n2-1= n2+1。
此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用下文介绍的基本技巧解决,方法就简单的多了。
(三)增幅不相等,但增幅以倍数的形式增加,也有通用解法,但此数列不应该叫初中学生做了。
二、基本技巧
(一)标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。
例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24等。试按此规律写出的第100个数是多少。
解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较:
给出的数:0,3,8,15,24。
序列号: 1,2,3, 4, 5。
容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1。
(二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。
例1:1,9,25,49的第n为(2n-1)2。
例2: 2、9、28、65,增幅是7、19、37,增幅的增幅是12、18 答案与3有关,即:n3+1。
例3:2、4、8、16,增幅是2、4、8,答案与2的乘方有关 即:2n。
(三)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用技巧找出每位数与位置的关系。再加上第一位数,恢复到原来。
例:2、5、10、17、26,同时减去2后得到新数列:
0、3、8、15、24,序列号:1、2、3、4、5。
分析观察可得,新数列的第n项为:n2-1,所以题中数列的第n项为:(n2-1)+2=n2+1。
(四)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。
例 : 4,16,36,64,144,196,(第一百个数)。
同除以4后可得新数列:1、4、9、16,很显然是位置数的平方。
(五)同技巧(三)、(四)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。
(六)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律。