如题所述
我们有一个 n×n 的矩阵 A，以及它的伴随矩阵 A∗。
首先，我们知道 r(A) 是矩阵 A 的秩，r(A∗) 是矩阵 A∗ 的秩。
我们知道，矩阵 A 的秩是其行向量组的最大线性无关组的个数，也是其列向量组的最大线性无关组的个数。
同样地，矩阵 A∗ 的秩也是其行向量组的最大线性无关组的个数，也是其列向量组的最大线性无关组的个数。
我们知道，矩阵 A 和 A∗ 的行向量组和列向量组都是由 n 个向量组成的。
因此，r(A)+r(A∗) 的最大值就是 n，即 r(A)+r(A∗)≤n。
这是因为，如果 r(A)+r(A∗)>n，那么 A 和 A∗ 的行向量组和列向量组中必然存在线性相关的向量，这与我们的假设矛盾。
因此，我们得出结论：r(A)+r(A∗)≤n。
首先，我们知道 r(A) 是矩阵 A 的秩，r(A∗) 是矩阵 A∗ 的秩。
我们知道，矩阵 A 的秩是其行向量组的最大线性无关组的个数，也是其列向量组的最大线性无关组的个数。
同样地，矩阵 A∗ 的秩也是其行向量组的最大线性无关组的个数，也是其列向量组的最大线性无关组的个数。
我们知道，矩阵 A 和 A∗ 的行向量组和列向量组都是由 n 个向量组成的。
因此，r(A)+r(A∗) 的最大值就是 n，即 r(A)+r(A∗)≤n。
这是因为，如果 r(A)+r(A∗)>n，那么 A 和 A∗ 的行向量组和列向量组中必然存在线性相关的向量，这与我们的假设矛盾。
因此，我们得出结论：r(A)+r(A∗)≤n。
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第1个回答 2023-10-06
由于A是n阶矩阵，则有只三种可能，r(A)=n； r(A)=n-1 ；r(A)<n-1
1、若r(A)=n，可将A*视为AX=0的解向量X组成的矩阵，此时只有零解，且此时r(A*)=n（A*由A的n-1阶代数余子式组成，此时A的n-1阶代数余子式非0），r(A)+r(A*)=2n，与题矛盾
2、r(A)=n-1，可将A*视为AX=0的解向量X组成的矩阵，由线性方程组章节的定理：线性无关解向量的个数=r(A*)=n-r(A)=1，此时r(A)+r(A*)=n
3、若r(A)<n-1，A的n-1阶代数余子式全为0，而A*由A的n-1阶代数余子式组成，故A*=零向量矩阵r(A*)=0，此时r(A)+r(A*)<n-1<n
综上 AA*=0时，r(A)+r(A*)≤n
1、若r(A)=n，可将A*视为AX=0的解向量X组成的矩阵，此时只有零解，且此时r(A*)=n（A*由A的n-1阶代数余子式组成，此时A的n-1阶代数余子式非0），r(A)+r(A*)=2n，与题矛盾
2、r(A)=n-1，可将A*视为AX=0的解向量X组成的矩阵，由线性方程组章节的定理：线性无关解向量的个数=r(A*)=n-r(A)=1，此时r(A)+r(A*)=n
3、若r(A)<n-1，A的n-1阶代数余子式全为0，而A*由A的n-1阶代数余子式组成，故A*=零向量矩阵r(A*)=0，此时r(A)+r(A*)<n-1<n
综上 AA*=0时，r(A)+r(A*)≤n
