如题所述
有理数知识点小结
一、正数和负数的有关概念
(1)正数:比0大的数叫做正数;负数:比0小的数叫做负数;0既不是正数,也不是负数。注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
(2)正数和负数表示相反意义的量。比如:
零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃ (别忘加单位)
(3) 0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
0不在仅仅表示没有,也表示实实在在的实物,比如0摄氏度,海拔0米。
二、有理数的概念及分类
有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类:
注意:1.引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。2.有限小数和无限循环小数都是分数
总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、有关数轴
⒈数轴的概念:规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
5.数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。(注意移动方向)
数轴经常和绝对值一起出题,特别是判断绝对值里面的符号。对此,我们一般用赋值法,就是数轴上的字母,根据实际情况给他赋一个具体的数,这样学生在解题时会感觉容易很多。
四、绝对值与相反数和倒数
(1)相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);
⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是
-(-5),化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地,数a 的相反数是-a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)
当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
6.多重符号的化简 (同号为正,异号为负)
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。
(2)绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数;⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为:
可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)
②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
5.绝对值的化简 (先判断绝对值号内是正是负,)
①当a≥0时, |a|=a ; ②当a≤0时, |a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
(3)倒数
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·=1(a≠0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。
注意:①0没有倒数;若a、b互为倒数,则a×b=1;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的符号性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
绝对值、相反数和倒数三者经常会和乘法的分配率出现一些综合题,在这里要特别有整体意思。(互为相反数的两个数的和为0,互为倒数的两个数的乘积为1.要有整体代换的思想。)
本身之迷
①倒数是它本身的数是±1 ②绝对值是它本身的数是非负数(正数和0)
③平方等于它本身的数是0,1 ④立方等于经本身的数是±1,0
⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1,0
⑦相反数是它本身的数是0
数之最
①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0
④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0
⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数
五、有理数加法 (先定符号,再定大小)
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;当两个加数绝对值相等时,两个加数互为相反数,和为零.
⑶互为相反数的两数相加,和为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律:a+b=b+a
⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:
⑴当b>0时,a+b>a ⑵当b<0时,a+b<a ⑶当b=0时,a+b=a
六.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。
七.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
八、有理数的乘法(定积的符号,在绝对值相乘)
1.有理数的乘法法则
法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:任何数同0相乘,都得0;
法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
2.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
九.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
(3)0除以任何一个不等于0的数,都得0
十.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
总结:积的符号的确定
几个有理数相乘,因数都不为0 时,积的符号由负因数的个数确定:当负因数有奇数个时,积为负;
当负因数有偶数个时,积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。
十一、有理数的乘方
(1)求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂.
一般地,表示n个a相乘记作,读作:a的n次方,表示n个a相乘;其中,a是底数,n是指数,称为幂。
(2)表示: 个相乘。叫做底数,叫做指数,计算的结果叫做:幂
当为正数时,为任何数,计算结果都是正数
当为负数,是奇数时,结果是负数;是偶数是,结果是正数
当底数是负数或分数时,必须把底数加上括号
注意:的底数是 ,指数是 ,结果是 ;的底数是 ,指数是 ,结果是 。
计算:
(3)正数的任何次幂都是正数.
负数的奇数次幂是负数,
负数的偶数次幂是正数.
(4)一个数的平方为它本身,这个数是0和1;
一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。
十二、有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;有乘除法时先统一成乘法。
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
十三、科学计数法
一般情况下,把大于10的数表示成(n为正整数)的形式时,为了统一标准,规定了a的范围,(1≤|a|<10),这种记数方法叫做科学记数法。
十四、近似数精确度有两种表示方法:精确到十分位也可表示成精确到0.1
用四舍五入法根据精确度取近似值时,先按要求找到相应的数位,再将紧跟在它后面的一位数字四舍五入.
带有记数单位的近似数,在确定精确到哪一位时要分两种情况:若记数单位前面的数是整数,则这个近似数就精确到“记数单位”位;若记数单位前面是小数,要先将这个近似数还原成原来的数,再看最后一位在原数中的位置.如近似数13亿,就精确到亿位;近似数2.43万,就精确到百位.用科学记数法形式表示的近似数, 在确定精确到哪一位时,同样要把它还原成原数,再从左到右看中的最后一位在原数的什么位置上,就说这个近似数精确到哪一位.如还原成原数为369.0,最后一位“0”在原数的十分位上,所以精确到十分位.
总结:比较两个有理数大小的方法有:
(1) 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较;
(2) 根据规定进行比较:两个正数;正数与零;负数与零;正数与负数;两个负数,体现了分类讨论的数学思想;
(3) 做差法:a-b>0 ⇔a>b;
(4) 做商法:a/b>1,b>0 ⇔a>b.
(5)利用绝对值比较大小
两个正数比较:绝对值大的那个数大;
两个负数比较:先算出它们的绝对值,绝对值大的反而小。
典例分析:
出租车司机小石某天下午营运全是在东西走向的人民大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天下午行车里程(单位:千米)如下:
+15,-3,+14,-11,+10,-12,+4,-15,+16,-18.
(1) 将最后一名乘客送到目的地时,小石距下午出发地点的距离是多少千米?
(2) 若汽车耗油量为a升/千米,这天下午汽车耗油共多少升?
分析:(1)求已知10个数的和,即得小石距下午出发地点的距离;
(2)要求耗油量,需求出汽车一共走的路程,与所行的方向无关,即求出10个数的绝对值的和,然后乘以a升即可。
注意两问的区别。
解:(1)(+15)+(-3)+(+14)+(-11)+(+10)+(-12)+(+4)+(-15)+(+16)+(-18)
=(15+14+10+4+16)+【(-3)+(-11)+(-12)+(-15)+(-18)】
=59+(-59)
=0(千米)
(2)
=118(千米)
118×a=118a(升)
答:(1)将最后一名乘客送到目的地时,小石距下午出发地点的距离是0千米,即回到出发地点;
(2)若汽车耗油量为a升/千米,这天下午汽车耗油共118a升。
典例分析:
在有关乘方的计算中,最易出现错误的是“符号问题”,解决问题的关键是准确理解幂的概念,头脑时刻保持清醒,不要随意的增减和变换符号,更不要“跳步”,严格按照运算法则进行。
解:
典例分析:
1、用科学记数法表示56420000万.
分析:需要注意以下两点:①在一些数据中会出现“万、亿”需引起重视;②科学记数法有其表示的标准形式:,其中,n为正整数。
解:56420000万=564200000000=
典例分析:
(1) 与原点距离等于4的点有几个?其表示的数是什么?
(2) 在数轴上点A表示的数是-3,与点A相距两个单位的点表示的数是什么?
分析:对于初学者,我们可以画出数轴,从数轴上观察,与原点距离等于4的点有两个,它们分别位于原点的两侧,它们所表示的数是+4和-4.千万不要忽略了原点左边的点即表示-4的点。这样第(2)问迎刃而解。
解:(1)与原点距离等于4的点有两个,它们表示的数是+4和-4.
(2)在数轴上点A表示的数是-3,与点A相距两个单位的点表示的数是-1和-5.
3、-(-3)的相反数是______。(解析:先化简-(-3),再去求出计算结果的相反数)
典例分析:
已知,求x,y的值。
分析:此题考查绝对值概念的运用,因为任何有理数a的绝对值都是非负数,即。
所以,而两个非负数之和为0,则这两个数均为0,所以可求出x,y的值。
解:∵ 又
∴,即
∴
典例分析:
如果规定△表示一种运算,且a△b=,求:3△(4△)的值.追问
一、正数和负数的有关概念
(1)正数:比0大的数叫做正数;负数:比0小的数叫做负数;0既不是正数,也不是负数。注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
(2)正数和负数表示相反意义的量。比如:
零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃ (别忘加单位)
(3) 0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
0不在仅仅表示没有,也表示实实在在的实物,比如0摄氏度,海拔0米。
二、有理数的概念及分类
有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类:
注意:1.引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。2.有限小数和无限循环小数都是分数
总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、有关数轴
⒈数轴的概念:规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
5.数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。(注意移动方向)
数轴经常和绝对值一起出题,特别是判断绝对值里面的符号。对此,我们一般用赋值法,就是数轴上的字母,根据实际情况给他赋一个具体的数,这样学生在解题时会感觉容易很多。
四、绝对值与相反数和倒数
(1)相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);
⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是
-(-5),化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地,数a 的相反数是-a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)
当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
6.多重符号的化简 (同号为正,异号为负)
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。
(2)绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数;⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为:
可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)
②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
5.绝对值的化简 (先判断绝对值号内是正是负,)
①当a≥0时, |a|=a ; ②当a≤0时, |a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
(3)倒数
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·=1(a≠0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。
注意:①0没有倒数;若a、b互为倒数,则a×b=1;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的符号性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
绝对值、相反数和倒数三者经常会和乘法的分配率出现一些综合题,在这里要特别有整体意思。(互为相反数的两个数的和为0,互为倒数的两个数的乘积为1.要有整体代换的思想。)
本身之迷
①倒数是它本身的数是±1 ②绝对值是它本身的数是非负数(正数和0)
③平方等于它本身的数是0,1 ④立方等于经本身的数是±1,0
⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1,0
⑦相反数是它本身的数是0
数之最
①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0
④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0
⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数
五、有理数加法 (先定符号,再定大小)
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;当两个加数绝对值相等时,两个加数互为相反数,和为零.
⑶互为相反数的两数相加,和为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律:a+b=b+a
⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:
⑴当b>0时,a+b>a ⑵当b<0时,a+b<a ⑶当b=0时,a+b=a
六.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。
七.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
八、有理数的乘法(定积的符号,在绝对值相乘)
1.有理数的乘法法则
法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:任何数同0相乘,都得0;
法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
2.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
九.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
(3)0除以任何一个不等于0的数,都得0
十.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
总结:积的符号的确定
几个有理数相乘,因数都不为0 时,积的符号由负因数的个数确定:当负因数有奇数个时,积为负;
当负因数有偶数个时,积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。
十一、有理数的乘方
(1)求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂.
一般地,表示n个a相乘记作,读作:a的n次方,表示n个a相乘;其中,a是底数,n是指数,称为幂。
(2)表示: 个相乘。叫做底数,叫做指数,计算的结果叫做:幂
当为正数时,为任何数,计算结果都是正数
当为负数,是奇数时,结果是负数;是偶数是,结果是正数
当底数是负数或分数时,必须把底数加上括号
注意:的底数是 ,指数是 ,结果是 ;的底数是 ,指数是 ,结果是 。
计算:
(3)正数的任何次幂都是正数.
负数的奇数次幂是负数,
负数的偶数次幂是正数.
(4)一个数的平方为它本身,这个数是0和1;
一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。
十二、有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;有乘除法时先统一成乘法。
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
十三、科学计数法
一般情况下,把大于10的数表示成(n为正整数)的形式时,为了统一标准,规定了a的范围,(1≤|a|<10),这种记数方法叫做科学记数法。
十四、近似数精确度有两种表示方法:精确到十分位也可表示成精确到0.1
用四舍五入法根据精确度取近似值时,先按要求找到相应的数位,再将紧跟在它后面的一位数字四舍五入.
带有记数单位的近似数,在确定精确到哪一位时要分两种情况:若记数单位前面的数是整数,则这个近似数就精确到“记数单位”位;若记数单位前面是小数,要先将这个近似数还原成原来的数,再看最后一位在原数中的位置.如近似数13亿,就精确到亿位;近似数2.43万,就精确到百位.用科学记数法形式表示的近似数, 在确定精确到哪一位时,同样要把它还原成原数,再从左到右看中的最后一位在原数的什么位置上,就说这个近似数精确到哪一位.如还原成原数为369.0,最后一位“0”在原数的十分位上,所以精确到十分位.
总结:比较两个有理数大小的方法有:
(1) 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较;
(2) 根据规定进行比较:两个正数;正数与零;负数与零;正数与负数;两个负数,体现了分类讨论的数学思想;
(3) 做差法:a-b>0 ⇔a>b;
(4) 做商法:a/b>1,b>0 ⇔a>b.
(5)利用绝对值比较大小
两个正数比较:绝对值大的那个数大;
两个负数比较:先算出它们的绝对值,绝对值大的反而小。
典例分析:
出租车司机小石某天下午营运全是在东西走向的人民大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天下午行车里程(单位:千米)如下:
+15,-3,+14,-11,+10,-12,+4,-15,+16,-18.
(1) 将最后一名乘客送到目的地时,小石距下午出发地点的距离是多少千米?
(2) 若汽车耗油量为a升/千米,这天下午汽车耗油共多少升?
分析:(1)求已知10个数的和,即得小石距下午出发地点的距离;
(2)要求耗油量,需求出汽车一共走的路程,与所行的方向无关,即求出10个数的绝对值的和,然后乘以a升即可。
注意两问的区别。
解:(1)(+15)+(-3)+(+14)+(-11)+(+10)+(-12)+(+4)+(-15)+(+16)+(-18)
=(15+14+10+4+16)+【(-3)+(-11)+(-12)+(-15)+(-18)】
=59+(-59)
=0(千米)
(2)
=118(千米)
118×a=118a(升)
答:(1)将最后一名乘客送到目的地时,小石距下午出发地点的距离是0千米,即回到出发地点;
(2)若汽车耗油量为a升/千米,这天下午汽车耗油共118a升。
典例分析:
在有关乘方的计算中,最易出现错误的是“符号问题”,解决问题的关键是准确理解幂的概念,头脑时刻保持清醒,不要随意的增减和变换符号,更不要“跳步”,严格按照运算法则进行。
解:
典例分析:
1、用科学记数法表示56420000万.
分析:需要注意以下两点:①在一些数据中会出现“万、亿”需引起重视;②科学记数法有其表示的标准形式:,其中,n为正整数。
解:56420000万=564200000000=
典例分析:
(1) 与原点距离等于4的点有几个?其表示的数是什么?
(2) 在数轴上点A表示的数是-3,与点A相距两个单位的点表示的数是什么?
分析:对于初学者,我们可以画出数轴,从数轴上观察,与原点距离等于4的点有两个,它们分别位于原点的两侧,它们所表示的数是+4和-4.千万不要忽略了原点左边的点即表示-4的点。这样第(2)问迎刃而解。
解:(1)与原点距离等于4的点有两个,它们表示的数是+4和-4.
(2)在数轴上点A表示的数是-3,与点A相距两个单位的点表示的数是-1和-5.
3、-(-3)的相反数是______。(解析:先化简-(-3),再去求出计算结果的相反数)
典例分析:
已知,求x,y的值。
分析:此题考查绝对值概念的运用,因为任何有理数a的绝对值都是非负数,即。
所以,而两个非负数之和为0,则这两个数均为0,所以可求出x,y的值。
解:∵ 又
∴,即
∴
典例分析:
如果规定△表示一种运算,且a△b=,求:3△(4△)的值.追问
。。。。
追答不行吗
追问什么?
你发什么?。。。
追答有点太多,手机显示不出来,你可以去电脑上看。
追问简单点。。。
或者一题一题发。。
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