定义新运算的例题

定义新运算可以作为数学问题，如：
例1、x,y表示两个数,规定新运算"*"及"△"如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.
分析我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求(1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据"△"的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,1△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.
(1△2)*3=a*3,按"*"的定义: a*3=ma+3n,在只有求出m,n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值,我们就要先求出 k,m,n的值.通过1*2 =5可以求出m,n的值,通过(2*3)△4=64求出 k的值.
解因为1*2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n
=5.又因为m,n均为自然数,所以解出:
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(1×2+2×3)△4
=8△4=k×8×4=32k
有32k=64,解出k=2.
②当m=3,n=1时:
(2*3)△4=(3×2+1×3)△4
=9△4=k×9×4=36k
所以m=l,n=2,k=2.
(1△2)*3=(2×1×2)*3
=4*3
=1×4+2×3
=10.
例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。
分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6
例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎（9◎2）
=6@9*2-9+2
=6◎7
=6×7-（6+7）
=42-13
=29
例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
求6Δ5。
分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。
6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070
例5.设p,q是两个数，规定：pΔq=3×p-[p+q]÷ 2，求7Δ[2Δ4]。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“Δ”就是一种新的运算符号。
7 Δ 【 2 Δ 4 】
=7 Δ【2×3-[2+4]÷2】
=7 Δ 3
=3×7-[7+3]÷2
=16