已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1和定点A(0,b),B(0,-b),C是椭圆上的动点,求三角形ABC的垂心H的轨迹.
第1个回答 2020-05-30
用向量法求设C(m,n),未知点H(x,y),则C点满足椭圆方程：m/a+n/b=1.(1) 则根据向量关系得:向量CH*向量AB=0 向量AH*向量BC=0 列出向量CH=(x-m,y-n),向量AB=(0,-2b) 向量AH=(x,y-b) 向量BC=(m,n+b) 代入上式得 (x-m)*0-2b*(y-n)=0.(2) x*m+(y-b)(n+b)=0.(3) 由(2)得y=n,代入(3)得xm+y-b=0 又根据(1)得y-b=-bm/a代入上式得 xm-bm/a=0 解得m=0(舍去)或m=bx/a即x=am/b 因此得到x,y关于C的关系式,将其代入椭圆方程即可 x/(b/a)+y/b=1也是椭圆.
