已知△ABC的顶点A，B在椭圆 上，C在直线 ：y=x+2上，且AB∥ 。（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。
解：（Ⅰ）因为AB∥ ，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x， 设A，B两点坐标分别为  ， 由  得 ，所以  ，又因为AB边上的高h等于原点到直线  的距离，于是 ，所以  。（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m， 由  得 ，因为A，B在椭圆上，所以  ，设A，B两点的坐标分别为  ，则  ， ，所以  ，又因为BC的长等于点（0，m）到直线  的距离，即 ，所以  ，所以当m=-1时，AC边最长，（这时  ），此时AB所在直线的方程为y=x-1。 |
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