求k的值，并求直线l的方程

解：
L:kx-y-3k=0
y=k*(x-3),L必过点A(3,0)
圆M:x^2+y^2-8x-2y+9=0
(x-4)^2+(y-1)^2=8,圆心M(4,1),r=2√2
MA=√2<r,A在圆M内,故直线L与圆M必相交

设y=kx-3k与圆M交于B(x1,y1),C(x2,y2),解下方程组:
y=kx-3k......(1)
x^2+y^2-8x-2y+9=0......(2)
x^2+(kx-3k)^2-8x-2*(kx-3k)+9=0
(1+k^2)*x^2-(8+2k+6k^2)+9+6k+9k^2=0
得x1,2=[(8+2k+6k^2)±2√(7+2k+7k^2)]/[2*(1+k^2)]
设x1>x2,则
x1-x2=2√(7+2k+7k^2)/(1+k^2)
y1-y2=k*(x1-x2)
弦长=h
h^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2
=(1+k^2)*(x1-x2)^2
=4(1+k^2)*(7+2k+7k^2)/(1+k^2)^2
=4(7+2k+7k^2)/(1+k^2)
=4*[7*(1+k^2)+2k]/(1+k^2)
=28+8k/(1+k^2)
设8k/(1+k^2)=n
8k=n+n*k^2
n*k^2-8k+n=0
未知数为k的上方程,有实数解的条件,是它的判别式≥0,即
64-4n^2≥0
n^2≤16
-4≤n≤4
n最小=-4
可得h^2最小=28-4=24,弦最小=2√6
n=-4
n*k^2-8k+n=0
-4k^2-8k-4=0
k=-1
当圆M截直线L所得弦长最小时,k=-1 所以直线l的方程-x-y+3=0也可以写成x+y-3=0

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