求证：n个连续正整数之积能被n!整除（n为正整数）
请详细回答，谢了~~
请用数论知识证明。
WskTuuYtyh - 大魔法师 八级 证到这里说明了什么呢？？
请证明的更加清楚，明白些。
O：组合数方法。
利用组合恒等式C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1).
一：数学归纳法或递推法。略。
二：先阅读以下网页，不是我的。http://hi.baidu.com/wangshan0908/blog/item/b15b050e1752efe4aa6457cc.html
这里讲到：
N! 的素因子分解式中素数 p 的指数 h = [N/p] + [N/(p^2)]+[N/(p^3)]+...
我的补充与注释:
[x]是高斯取整函数，也记作int(x).
n!是n,n-1,...,2,1这n个数的连乘积.这n个数中,被p整除的数的个数是:
[n/p],即n/p的整数部分.
被p^2整除的数的个数是[n/p^2]
被p^3整除的数的个数是[n/p^3]
...
因此n!分解素因子时,素因子p的指数是[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...
一个数m的素因子分解式中素数 p 的指数，记作函数Pot_p(m).
引:
显然,对于任意正整数m,k，[m/k]>=[(m-n)/k]+[n/k].
取k=p,pp,p^3,...，然后各式相加，
可得，Pot_p(m!)>=Pot_p((m-n)!)+Pot_p(n!)
证明:
n个连续正整数之积,不妨设为m*(m-1)*....(m-n+1)=m!/((m-n)!)
要证：n个连续正整数之积能被n!整除，即证m!/((m-n)!n!)为整数。
对于素数p,如果在m!的因子分解式中不出现,也就是说：Pot_p(m!)=0
对于每个素数p=2,3,5,7,....,
Pot_p(m!)>=Pot_p((m-n)!)+Pot_p(n!)
那么pot_p(m!/((m-n)!n!))=Pot_p(m!)-Pot_p((m-n)!)-Pot_p(n!)>=0
(这是指数的运算性质换了个说法)
也就是说：m!/((m-n)!n!)是整数．
事实上，这里还蕴含了对任意有理数作类似的因子分解：
如2/35=2*5^(-1)*7^(-1)，出现负因子则非整数
考虑推广:
等差数列相邻n项之积/n!,会怎样?
三：我曾数论书上看到了其他证法,一下子想不起来了.
利用组合恒等式C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1).
一：数学归纳法或递推法。略。
二：先阅读以下网页，不是我的。http://hi.baidu.com/wangshan0908/blog/item/b15b050e1752efe4aa6457cc.html
这里讲到：
N! 的素因子分解式中素数 p 的指数 h = [N/p] + [N/(p^2)]+[N/(p^3)]+...
我的补充与注释:
[x]是高斯取整函数，也记作int(x).
n!是n,n-1,...,2,1这n个数的连乘积.这n个数中,被p整除的数的个数是:
[n/p],即n/p的整数部分.
被p^2整除的数的个数是[n/p^2]
被p^3整除的数的个数是[n/p^3]
...
因此n!分解素因子时,素因子p的指数是[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...
一个数m的素因子分解式中素数 p 的指数，记作函数Pot_p(m).
引:
显然,对于任意正整数m,k，[m/k]>=[(m-n)/k]+[n/k].
取k=p,pp,p^3,...，然后各式相加，
可得，Pot_p(m!)>=Pot_p((m-n)!)+Pot_p(n!)
证明:
n个连续正整数之积,不妨设为m*(m-1)*....(m-n+1)=m!/((m-n)!)
要证：n个连续正整数之积能被n!整除，即证m!/((m-n)!n!)为整数。
对于素数p,如果在m!的因子分解式中不出现,也就是说：Pot_p(m!)=0
对于每个素数p=2,3,5,7,....,
Pot_p(m!)>=Pot_p((m-n)!)+Pot_p(n!)
那么pot_p(m!/((m-n)!n!))=Pot_p(m!)-Pot_p((m-n)!)-Pot_p(n!)>=0
(这是指数的运算性质换了个说法)
也就是说：m!/((m-n)!n!)是整数．
事实上，这里还蕴含了对任意有理数作类似的因子分解：
如2/35=2*5^(-1)*7^(-1)，出现负因子则非整数
考虑推广:
等差数列相邻n项之积/n!,会怎样?
三：我曾数论书上看到了其他证法,一下子想不起来了.
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2009-07-28
这是排列组合。Cmn(就是m个数中选n个的组合)=[m(m-1)(m-2)···（m-n+1）]/n！分母是N个连续数的积，分子是n的阶乘，由于结果是个组合，肯定是整数，得证
第2个回答 2009-07-28
一个数被N除，得到的余数情况有N种，即余0、余1、余2……余（N-1）
由于是连续的N个正整数，所以这N个数分别除以N的余数必定是0、1、2、……（N-1），其中只有余数为0的能被N整除，所以得证。
由于是连续的N个正整数，所以这N个数分别除以N的余数必定是0、1、2、……（N-1），其中只有余数为0的能被N整除，所以得证。
第3个回答 2009-07-28
给一个算是说明吧：
首先排除n个连续整数中有正有负的情况，因为这时这n个整数中含0，整除是显然的；
那么以下就可以假设这n个整数都是正的，因为负的情况可以完全类似得出。
设m是任给一个正整数，那么题目就是m(m+1)...(m+n-1)/n!是一个整数，而这个数是以下问题的答案：从m+n-1个互不相同的东东中任取n个有多少种取法，显然是个整数。
首先可以确定任意连续k个整数中，必有一个能被k整除。如果都不能被k整除的话，根据抽屉原理，必有两个数除以k余数相同，那么它们的差就能被k整除，只能为k,2k,3k……
但由于这串数中最大数与最小数之差才只有k-1,所以矛盾。因此假设不成立，因此有一个数能被k整除。
同理可以知道连续k个数中至少有一个能被k-1;k-2;……2,1整除。所以这连续k个数之积能被k!整除。
首先排除n个连续整数中有正有负的情况，因为这时这n个整数中含0，整除是显然的；
那么以下就可以假设这n个整数都是正的，因为负的情况可以完全类似得出。
设m是任给一个正整数，那么题目就是m(m+1)...(m+n-1)/n!是一个整数，而这个数是以下问题的答案：从m+n-1个互不相同的东东中任取n个有多少种取法，显然是个整数。
首先可以确定任意连续k个整数中，必有一个能被k整除。如果都不能被k整除的话，根据抽屉原理，必有两个数除以k余数相同，那么它们的差就能被k整除，只能为k,2k,3k……
但由于这串数中最大数与最小数之差才只有k-1,所以矛盾。因此假设不成立，因此有一个数能被k整除。
同理可以知道连续k个数中至少有一个能被k-1;k-2;……2,1整除。所以这连续k个数之积能被k!整除。
第4个回答 2009-07-28
证明:
某班有学生m个人,要选班干部n名,求可能的情况数
根据排列组合公式
可能的情况数m!/[n!(m-n)!]
m!
=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)……1
=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)!
所以m!/[n!(m-n)!]
=[m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)!]/[n!(m-n)!]
=[m(m-1)(m-2)……(m-n+1)]/n!
m,(m-1),(m-2),……,(m-n+1)就是n个连续的正整数
从m个学生中选班干部n名可能的情况数必为正整数
证毕
第5个回答 2009-07-29
证明：
m!/[n!(m-n)!]
m!=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)……1
=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)!
=>m!/[n!(m-n)!]
=[m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)!]/[n!(m-n)!]
=[m(m-1)(m-2)……(m-n+1)]/n!
m,(m-1),(m-2),……,(m-n+1)就是n个连续的正整数
从m个学生中选班干部n名可能的情况数必为正整数
m!/[n!(m-n)!]
m!=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)……1
=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)!
=>m!/[n!(m-n)!]
=[m(m-1)(m-2)……(m-n+1)(m-n)!]/[n!(m-n)!]
=[m(m-1)(m-2)……(m-n+1)]/n!
m,(m-1),(m-2),……,(m-n+1)就是n个连续的正整数
从m个学生中选班干部n名可能的情况数必为正整数
