从椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1(A>B>0)上的一点P向X轴做垂线,垂足恰为左焦点F1.又点A是椭圆与X轴正半轴的交点,点B的椭圆与Y轴正半轴的交点,且AB//OM.（1）求离心率（2）设Q是椭圆上任意一点，当QF2垂直AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20根号3，求该椭圆的方程
解：
（1）
先求OM的高度：
x²/a² + y²/b² = 1
(-c)²/a² + y²/b² = 1
c²/a² + y²/b² = 1
因为 a² - b² = c²，所以：
(a² - b²)/a² + y²/b² = 1
y²/b² = b²/a²
y = b²/a
OM : F1O = BO : OA
b²/a : c = b : a
b c = b²
c = b
a² - b² = c²
a² - c² = c²
c² = 1/2 a²
e = c/a = √2/2
（2）
由第一问结论，b=c，所以a² = 2c²，椭圆方程简化为：
x²/2c² + y²/c² = 1
x² + 2y² = 2c²
△F1PQ的面积= 1/2 (c + c) * |(yP - yQ)|，yP，yQ是P、Q两点的y坐标。
下面来求这个坐标差：
首先，来看AB的斜率，k=b/a=-1/√2,由于PQ和AB垂直，斜率k'= √2,PQ过F2点，所以PQ的直线方程是：
y = √2(x -c)
x - c = y/√2
x = y/√2 + c
代入椭圆方程，消去x：
x² + 2y² = 2c²
(y/√2 + c)² + 2y² = 2c²
y²/2 + 2c/√2 y + c² + 2y² = 2c²
y²/2 + c√2 y + 2y² = c²
y² + 2c√2 y + 4y² = 2c²
5y² + 2c√2 y - 2c² = 0
*** 如果一个一元二次方程ax² + bx + c = 0有两个实根，这两个根的差是：
| √(b² - 4ac) /a | , 差的平方式 (b² - 4ac) /a²
***
(y1 - y2)² = [ (2c√2)² - 4 * 5 * (-2c²) ]/5^2 = [8c² + 40c² ]/25
|(y1 - y2)| = 4√3 c/5
面积：
1/2 * 2c * 4√3 c/5 = 20√3
4c²=100
c = 5
所以椭圆方程是：
x² + 2y² = 2c²
x² + 2y² = 50
也可以变形为标准形式，自己做吧。
（完）
（1）
先求OM的高度：
x²/a² + y²/b² = 1
(-c)²/a² + y²/b² = 1
c²/a² + y²/b² = 1
因为 a² - b² = c²，所以：
(a² - b²)/a² + y²/b² = 1
y²/b² = b²/a²
y = b²/a
OM : F1O = BO : OA
b²/a : c = b : a
b c = b²
c = b
a² - b² = c²
a² - c² = c²
c² = 1/2 a²
e = c/a = √2/2
（2）
由第一问结论，b=c，所以a² = 2c²，椭圆方程简化为：
x²/2c² + y²/c² = 1
x² + 2y² = 2c²
△F1PQ的面积= 1/2 (c + c) * |(yP - yQ)|，yP，yQ是P、Q两点的y坐标。
下面来求这个坐标差：
首先，来看AB的斜率，k=b/a=-1/√2,由于PQ和AB垂直，斜率k'= √2,PQ过F2点，所以PQ的直线方程是：
y = √2(x -c)
x - c = y/√2
x = y/√2 + c
代入椭圆方程，消去x：
x² + 2y² = 2c²
(y/√2 + c)² + 2y² = 2c²
y²/2 + 2c/√2 y + c² + 2y² = 2c²
y²/2 + c√2 y + 2y² = c²
y² + 2c√2 y + 4y² = 2c²
5y² + 2c√2 y - 2c² = 0
*** 如果一个一元二次方程ax² + bx + c = 0有两个实根，这两个根的差是：
| √(b² - 4ac) /a | , 差的平方式 (b² - 4ac) /a²
***
(y1 - y2)² = [ (2c√2)² - 4 * 5 * (-2c²) ]/5^2 = [8c² + 40c² ]/25
|(y1 - y2)| = 4√3 c/5
面积：
1/2 * 2c * 4√3 c/5 = 20√3
4c²=100
c = 5
所以椭圆方程是：
x² + 2y² = 2c²
x² + 2y² = 50
也可以变形为标准形式，自己做吧。
（完）
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
