设A=true，B=false，C=true，D=false，以下逻辑运算表达式值为真的有（ ）。

自然科学中的一些理论性学科有很多规则和定理，但这些规则中有些是最基本的，使得某学科领域内的所有其它的规则和定理均可由这些最基本的规则推出，这些最基本的规则称为公理。公理可视为一门学科的基础，它的正确性是公认的，因此不需要证明。而学科领域中的其它规则和定理均可从公理出发加以证明。

一、数学系统

一个数学系统由公理，定义和未定义项组成。公理是先验被认为是真的。定义是用已有的内容来建立新的概念。某些项未被明确定义，但被公理隐含地定义。在数学系统中我们可以导出定理。定理是一个被证明为真的命题。一引起特殊种类的定理被称为引理和推论。引理是一个定理，其本身的内容不大有用，主要用于证明其他定理。推论是可以很快地从另一个定理得出的定理。

论述一个定理为真的过程称为证明。

公理系统举例：

欧几里德几何提供了一个数学系统的例。其公理有：

给出两个不同的点，只有一条直线通过它们。

给出一条直线和其外的一个点，只有一条直线通过此点并平行于给定直线。

名词和直线是未定义的项，但是由描述它们性质的公理隐含地定义。

定义有：

如果两个三角形其顶点能一一对应，使对应的边和角都相等，则此两个三角形是全等的。

如果两个角的和为180度，则它们互为补角。

欧几里德几何中定理的例子是：

如一三角形的两边相等，则其对角相等。

如一四边形的两个对角线互相等分，则四边形是平等四边形。

欧几里德几何中推论的例子：

等边三角形的三内角相等。

二、证明方法

1、直接证明法

直接证明法是假设P(x1,x2,……,xn)为真，然后，使用P(x1,x2,……,xn)和其他公理、定义和已经证明的定理，直接地证明q(x1,x2,……,xn)为真。

2、间接证明法

间接证明法又称为反证法，反证法是假设前提p为真且结论为假，使用p和┐p和其他定理，得出一个矛盾。此处的矛盾是一个形式如r∧┐r的命题（r可以是任何的命题）。因为使用矛盾来证明命题，是循着一个间接的方法；得出r∧┐r，来证明命题为真，所以称为间接证明法。

直接证明和间接证明，其前提的不同在于被否定了的结论。它在间接证明中被用作前提，而直接证明中不用它作为前提。

反证法的正确性可由：p→q和q∧┐q→r∧┐r 二式等价看出。

p q r p→q q∧┐q r∧┐r q∧┐q→r∧┐r
T T T T F F T
T T F T F F T
T F T F T F F
T F F F T F F
F T T T F F T
F T F T F F T
F F T T F F T
F F F T F F T

例：用直接法证明：定义所有实数d，d1，d2和x，如d=min（d1，d2）且x<=d1,且x<=d2。

例：用反证法证明下面的陈述

对于所有实数x和y，如：x+y>=2，则x>=1或y>=1。

反证的特殊情况：逆向求证。p→q=(┐q)→(┐p)

3、证明的有效性

在建立一个证明时，我们必须肯定所使用的论证是有效的。

如：c或d是小偷。（p∨q）

c不是小偷。（┐p）以上两个为前提

d是小偷。（q）结论

从一系列前提得出结论的方法称为演绎推理。给出的命题系列，称为前提，从这些前提得到的命题，称为结论。任何认证的形式都是，如p1且p2且……且pn，则q。如结论能从前提导出，就说认证是有效的。

4、数学归纳法

设有一系列的方块，名为1，2，……位于一个（无限）长的桌子上，其中某些方块用“X”标志。假设：

第一个方块已被标志。

如所有在第（n+1）个方块之前的都已被标志，则第（n+1）个方块也被标志。

由假设可以导出，每个方块都是被标志了的。

例：令Sn表示前n个正整数的和：

数学归纳法原理

设对于每个正整数n，我们有一个陈述S(n)，其值或为真或为假。假设

S(1)为真。

如对于所有i<n+1，S(i)为真，S(n+1)为真。

则对于所有正整数n，S(n)为真。

例1：对于n=1，2，……

例2：对于n=1，2，…… 能被的整除。

例3：铺瓦问题

例4：用归纳法证明n条直线把平面最多可以分成(n^2+n+2)/2部分。

例5：证明：对于n=1，2，……，3^n+7^n-2可以被8整除。

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