三者容斥问题3个公式

1、a+b+c+d=I(只喜欢1者+只喜欢2者+3者都喜欢+3者都不喜欢=总集)

2、a+2b+3c=A+B+C(三个集合相加时，喜欢1者的部分加了1次，2者的部分加了2次，喜欢3者的部分加了3次)

3、b+3c=X+Y+Z(题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C的有Y人，喜欢B和C的有Z人)

扩展资料：

用同一字母表示同一属性的区域。斜线部分：表示只喜欢一者，用“a”来表示;打点部分：表示只喜欢两者，用“b”来表示;空白部分：表示三者都喜欢，用“c”来表示;而集合外的部分表示三者都不喜欢，用“d”来表示。

题目中的每句话就可以列出一个式子，就可以达到机械化解题的效果，减少思考时间。因此，在考试的时候碰到容斥问题，是必拿分的题目。

A∪B∪C表示ABC三个圆圈覆盖的面积；A∩B∩C表示符合三个条件，在实际的解题中注意两点：

①有不符合ABC任意一项的，并未在图中展示。

②A∩B是包含A∩B∩C，仅满足A∩B=A∩B-A∩B∩C，其他同理。

二集合的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。

扩展资料：

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。

参考资料来源：

用同一字母表示同一属性的区域。斜线部分：表示只喜欢一者，用“a”来表示;打点部分：表示只喜欢两者，用“b”来表示;空白部分：表示三者都喜欢，用“c”来表示;而集合外的部分表示三者都不喜欢，用“d”来表示。

因此，根据图形，就有了以下几个公式：

1、a+b+c+d=I(只喜欢1者+只喜欢2者+3者都喜欢+3者都不喜欢=总集)

2、a+2b+3c=A+B+C(三个集合相加时，喜欢1者的部分加了1次，2者的部分加了2次，喜欢3者的部分加了3次)

3、b+3c=X+Y+Z(题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C的有Y人，喜欢B和C的有Z人)

扩展资料：

例题：

某专业有若干学生，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程，兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人、甲乙丙三门课程均选的有20人，三门课程均未选的有2人。该专业共有学生多少人?

A 、48 、B、 50、 C、52、 D、54

解析：直接套用公式:

(1)根据题中“有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程” 得：a+2b+3c=40+36+30=106(2)根据题中“兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人”

得：b+3c=28+26+24=78(3) 根据题中“甲乙丙三门课程均选的有20人”得：c=20(4)根据题中“三门课程均未选的有2人”得：d=2.最终求出总集I=a+b+c+d=10+18+20+2=50人，所以答案为B。

三集合容斥问题的核心公式如下：

标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

| A | + | B | + | C | =只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

扩展资料：

容斥原理：

容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

（A∪B = A+B - A∩B)

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

参考资料来源：