偶然看到一个题目: 10块相同的糖分给4个小朋友,允许有人分不到,请问有多少种分法。答案是286 有什么简便易懂的方法解答吗?
首先转化问题,我们设第i个小朋友分到ai个糖,则a1+a2+a3+a4=10,ai>=0,即求不定方程的解个数。然后我们令bi=ai+1,则方程化为b1+b2+b3+b4=14,bi>=1。
我们把14块糖依次排好,然后用3根筷子去分离这14块糖,使得糖成为四份,第i份就是bi。那么有多少种筷子插入14块糖的方法就有多少个解。由于每一份至少一个,所以筷子不能放在同一个空挡中。所以一共14块糖,有13个空挡,从中取出3个空挡插入筷子。一共C(3,13)=286种分法
(图中没有14块糖,只是模拟一下,更加好看)
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答 2014-09-12
这个问题叫做“错排问题”。
错排问题递推公式的推导:
当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;
综上得到
M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
特殊地,M⑴=0,M⑵=1
下面通过这个递推关系推导通项公式:
为方便起见,设M(k)=k!N(k),(k=1,2,…,n)
则N⑴=0,N⑵=1/2
n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N⑵-N⑴]=(-1)^n/n!
因此
N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
N⑵-N⑴=(-1)^2/2!
相加,可得
N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
因此
M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
可以得到
错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)
错排问题递推公式的推导:
当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;
综上得到
M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
特殊地,M⑴=0,M⑵=1
下面通过这个递推关系推导通项公式:
为方便起见,设M(k)=k!N(k),(k=1,2,…,n)
则N⑴=0,N⑵=1/2
n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N⑵-N⑴]=(-1)^n/n!
因此
N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
N⑵-N⑴=(-1)^2/2!
相加,可得
N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
因此
M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
可以得到
错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)
第2个回答 2014-09-12