容斥问题

容斥问题具体如下：

一、两容斥公式

总数＝（A＋B－A∩B）＋一个都不满足

＝（只满足A＋满足B）＋一个都不满足

＝（满足A＋只满足B）＋一个都不满足

例：某班共35人，其中喜欢数学的20人，喜欢语文的23人，数学语文都喜欢的多少人?

（20＋23）－35＝8（人）

二、两容斥的极值问题

例：某班共35人，其中喜欢数学的20人，喜欢语文的23人，数学语文都喜欢的至多有多少人?至少有多少人?

至多有20人

至少有8人

三、三容斥之包含的容斥原理

总人数＝（A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C）＋都不满足

四、三容斥之不包含的容斥原理

总数＝（A＋B＋C－只满足两个条件的－2×只满足三个条件的）＋都不满足的

＝（A＋B＋C－至少满足两个条件的－满足三个条件的）＋都不满足的

五、综合题型

总人数＝只一项＋（只两项＋三项）【→至少两项】

总人数＝满足一项＋满足两项＋满足三项＋都不满足

六、复杂问题简单化

例:对某大学所在系100名学生进行调查，结果发现他们喜欢NBA和足球、赛车。其中58人喜欢看NBA，38人喜欢看赛车，52人喜欢看足球，既喜欢看NBA又喜欢看赛车的有18人，既喜欢看足球又喜欢看赛车的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看足球的有多少人

A.22-B.28-C.30-D.36

思路:“只喜欢足球”等价于“既不NBA也不赛车”

总数＝（A＋B－A∩B）＋都不满足

【A为喜欢NBA，B为喜欢赛车】

设都不满足为x

100＝（58＋38－18）＋x

x＝22人

七、及格率极值分析

例:某中学初二年级共有620名学生参加期中考试，其中，语文及格的有580名数学及，及格的有575名英语及格的有604名以上，三门功课都及格的，至少有多少名同学。

A.575-B.558-C.532-D.519

总项数＝满足1项×1＋满足两项×2＋满足三项×3

总项数＝580＋575＋604＝1759

要让满足3项的尽可能少，只需要让满足1项和满足2项尽可能多，则所有人都满足2项就是最多的时候

1759－620×2＝519（名）

例:某单位有72名职工，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班，已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多是多少人

A.6-B.12-C.16-D.20

要让满足3项的尽可能多，只需要让满足1项和满足2项的尽可能少

84－72×1＝12项

12项÷2＝6（人）