我第一部就看不懂，请问下图中第一部是怎么写出来的？
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第1个回答 2021-04-26
z = x^2+y^2, 2-z = x^2+y^2 联立，消去 z，
得两曲面交线在 xOy 坐标平面的投影， 即积分域 D：x^2+y^2 = 1.
化为极坐标，得所求体积
V = ∫∫<D>[(2-x^2+y^2)-(x^2+y^2)]dxdy
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>(2-2r^2)rdr
= 2π[r^2-(1/2)r^4]<0, 1> = π追问
得两曲面交线在 xOy 坐标平面的投影， 即积分域 D：x^2+y^2 = 1.
化为极坐标，得所求体积
V = ∫∫<D>[(2-x^2+y^2)-(x^2+y^2)]dxdy
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>(2-2r^2)rdr
= 2π[r^2-(1/2)r^4]<0, 1> = π追问
为什么要相减？
追答求两曲面所围立体体积公式就是上曲面减去下曲面再积分
第2个回答 2021-04-27
二重积分中dxdy表示面积微元，而体积=底面积×高，所以当被积函数f(x,y)表示空间区域的高时，这个二重积分的几何意义即为曲顶柱体的体积。
特别地，当被积函数f(x,y)=1，体积=底面积×高=底面积×1=底面积，那么其数值上恰好等于积分区域的面积，所以二重积分也能计算面积。
特别地，当被积函数f(x,y)=1，体积=底面积×高=底面积×1=底面积，那么其数值上恰好等于积分区域的面积，所以二重积分也能计算面积。
