如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．

解：（Ⅰ）在图1中，可得AC＝BC＝2

，从而AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC
取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，
面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分）
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD（6分）
另解：在图1中，可得AC＝BC＝2

，
从而AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，从而BC⊥平面ACD
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，
则M(0，

，0)，C(?

，0，0)，
D(0，0，

)

＝(

，

，0)，

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