如题所述
数列1/n的前n项和没有通项公式,但它存在极限值,当n趋于无穷大时,其极限值为ln2,下面给出证明:
设a(n)=1/(n+1)+…+1/2n,(少了1/n,多了1/2n)
lim (1+1/n)^n=e,且(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)
取对数
1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n
设b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0
又b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln2/1+ln3/2+ln4/3+...+ln(1+1/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn>0
故lim b(n)=c,c为常数
由上题a(n)=b(2n)-b(n)+ln(2n)-lnn
lim a(n)=lim b(2n)-lim b(n)+ln2 ---当n趋于无穷大时,lim b(2n)=lim b(n)=c
=c-c+ln2
=ln2
--------2n-1
故 lim∑1/n=lim [a(n)+1/n-1/2n]=lim a(n)+lim 1/n-lim 1/2n=ln2+0-0=ln2
-------i=n
扩展资料:
性质
(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq。
(2)在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。
(3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比数列,公比为q1,{bn}也是等比数列,公比是q2,则{a2n},{a3n}…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…{can},c是常数,{an*bn},{an/bn}是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2。
(5)若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数。
(6)等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零。
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
(7)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列 [2] 。
可以到mathlab计算器上验证,这个表达式算出来的结果是对的,不过美中不足的就是计算最终表达式,这个原函数因为受个人知识有限,没能推出来,有请各路大神在本贴下评论出原函数的表达式。
n分之一的前n项和是发散的,即n趋紧无穷大时,S(n)的值也趋近无穷大。
证明如下
证:不等式 x>ln(1+x) (x>0) Sn=1+1/2+1/3+···+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+···+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+···+ln((n+1)/n)=ln(2*(3/2)*(4/3)*···*((n+1)/n))=ln(1+n)
因为lim[n→∞]ln(1+n)=+∞,所以lim[n→∞]Sn=+∞,故发散
所有调和级数都是发散的。调和级数即1/An的前n项和,其中An是不全为零的等差数列。
自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):
利用“欧拉公式”1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C(C=0.57722.一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)
人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.
但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.
学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下:
由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn(n→∞)≥lim ln(n+1)(n→∞)=+∞
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.本回答被网友采纳
S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
这个序列被称为调和级数。然而,调和级数是发散的,也就是说,它的和没有一个有限的值。随着n趋近于无穷大,这个和会趋向于无穷大。
虽然无法得到调和级数的精确和,但可以使用近似方法来估算它的值。其中一个著名的近似公式是由欧拉提出的:
S ≈ ln(n) + γ
其中,ln(n)是自然对数(以e为底)的n的值,γ是欧拉常数,约等于0.577。
因此,n分之一的前n项和可以近似表示为ln(n) + γ。请注意,这是一个近似值,并且在n较大时更加接近实际值。
例如:
当n取值为5时,我们可以计算n分之一的前n项和:
S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
将这些分数相加,我们得到:
S = 1 + 0.5 + 0.333 + 0.25 + 0.2
计算得出:
S ≈ 2.283
这个值是一个近似值,并不是一个精确的和。如果我们使用近似公式来计算:
ln(n) + γ ≈ ln(5) + 0.577 ≈ 1.609 + 0.577 ≈ 2.186
我们可以看到,这个近似值与实际计算值2.283相比还是有一些差距的。然而,随着n的增大,近似值将会越来越接近实际值。
但它可以用一些公式去逼近它的和,
如有:1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1),当n很大时,它们之间的差就非常小,
这时就可以近似用ln(n+1)来代替.
由x>ln(x+1)(x>0),这可以利用导数证明,略.
然后取x=1/n,所以1/n>ln(1/n+1)=ln(n+1)-lnn,然后由1/n>ln(n+1)-lnn进行累加,
就可得1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1).