如题所述
数列1/n的前n项和没有通项公式，但它存在极限值，当n趋于无穷大时，其极限值为ln2,下面给出证明：
设a(n)=1/（n+1）+…+1/2n,(少了1/n,多了1/2n)
lim (1+1/n)^n=e,且(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)
取对数
1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n
设b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0
又b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln2/1+ln3/2+ln4/3+...+ln(1+1/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn>0
故lim b(n)=c,c为常数
由上题a(n)=b(2n)-b(n)+ln(2n)-lnn
lim a(n)=lim b(2n)-lim b(n)+ln2 ---当n趋于无穷大时，lim b(2n)＝lim b(n)＝c
=c-c+ln2
=ln2
--------2n-1
故 lim∑1/n=lim [a(n)+1/n-1/2n]=lim a(n)+lim 1/n-lim 1/2n=ln2+0-0=ln2
-------i=n
扩展资料：
性质
（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
（3）若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。
（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（5）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。
（6）等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
（7）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列 [2] 。
可以到mathlab计算器上验证，这个表达式算出来的结果是对的，不过美中不足的就是计算最终表达式，这个原函数因为受个人知识有限，没能推出来，有请各路大神在本贴下评论出原函数的表达式。
n分之一的前n项和是发散的，即n趋紧无穷大时，S(n)的值也趋近无穷大。
证明如下
证：不等式 x>ln(1+x) (x>0) Sn=1+1/2+1/3+···+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+···+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+···+ln((n+1)/n)=ln(2*(3/2)*(4/3)*···*((n+1)/n))=ln(1+n)
因为lim[n→∞]ln(1+n)=+∞，所以lim[n→∞]Sn=+∞,故发散
所有调和级数都是发散的。调和级数即1/An的前n项和，其中An是不全为零的等差数列。
自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):
利用“欧拉公式”1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C(C=0.57722.一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)
人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.
但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.
学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：
由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.本回答被网友采纳
S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
这个序列被称为调和级数。然而，调和级数是发散的，也就是说，它的和没有一个有限的值。随着n趋近于无穷大，这个和会趋向于无穷大。
虽然无法得到调和级数的精确和，但可以使用近似方法来估算它的值。其中一个著名的近似公式是由欧拉提出的：
S ≈ ln(n) + γ
其中，ln(n)是自然对数（以e为底）的n的值，γ是欧拉常数，约等于0.577。
因此，n分之一的前n项和可以近似表示为ln(n) + γ。请注意，这是一个近似值，并且在n较大时更加接近实际值。
例如：
当n取值为5时，我们可以计算n分之一的前n项和：
S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
将这些分数相加，我们得到：
S = 1 + 0.5 + 0.333 + 0.25 + 0.2
计算得出：
S ≈ 2.283
这个值是一个近似值，并不是一个精确的和。如果我们使用近似公式来计算：
ln(n) + γ ≈ ln(5) + 0.577 ≈ 1.609 + 0.577 ≈ 2.186
我们可以看到，这个近似值与实际计算值2.283相比还是有一些差距的。然而，随着n的增大，近似值将会越来越接近实际值。
但它可以用一些公式去逼近它的和,
如有：1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1),当n很大时,它们之间的差就非常小,
这时就可以近似用ln(n+1)来代替.
由x>ln(x+1)(x>0),这可以利用导数证明,略.
然后取x=1/n,所以1/n>ln(1/n+1)=ln(n+1)-lnn,然后由1/n>ln(n+1)-lnn进行累加,
就可得1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1).
