高等数学。问个小知识点。数列an收敛是什么意思。能不能说明an极限存在,或者an单调有界。 我就是想问an收敛能得到哪些信息
能说明。完全能够说明。
数列收敛当然存在极限,这两个说法是等价的;数列若是收敛则数列必然有界,反过来不一定成立!
例如:Xn=1,-1,1,-1,.
|Xn|<=1,是有界的,但是Xn不收敛
对于收敛的数列,他的极限小于等于界;这里的界有很多的,可以很大的,界不是唯一的,一般讨论最大(最小)的界比较有意义.追问
数列收敛当然存在极限,这两个说法是等价的;数列若是收敛则数列必然有界,反过来不一定成立!
例如:Xn=1,-1,1,-1,.
|Xn|<=1,是有界的,但是Xn不收敛
对于收敛的数列,他的极限小于等于界;这里的界有很多的,可以很大的,界不是唯一的,一般讨论最大(最小)的界比较有意义.追问
说明什么?
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第1个回答 推荐于2017-09-19
数列收敛和极限存在:数列是否收敛是用极限存在来定义的,所以数列收敛就表示极限一定存在。
如果数列收敛,那一定有界,没界的话没法极限存在了,就没法收敛了。
如果数列收敛,不一定单调,比如数列{1/n^2}收敛吧,但是你把他前三项换成1,2,1,其他项不动,这个仍然存在(为0),仍然收敛,但是单调吗?明显不单调。追问
如果数列收敛,那一定有界,没界的话没法极限存在了,就没法收敛了。
如果数列收敛,不一定单调,比如数列{1/n^2}收敛吧,但是你把他前三项换成1,2,1,其他项不动,这个仍然存在(为0),仍然收敛,但是单调吗?明显不单调。追问
嗯。例子很好。十分感谢~^_^
本回答被提问者采纳第2个回答 2015-11-04
设数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有|Xn-a|<q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列(Convergent Sequences)。
数列收敛<=>数列极限存在。
有界性
定义:设有数列xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立,则称数列xn有界。
定理1:如果数列{Xn}收敛,那么该数列必定有界。
推论:无界数列必定发散;数列有界,不一定收敛;数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件
保号性
如果数列{Xn}收敛于a,且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,都有Xn>0(或Xn<0)。
数列收敛<=>数列极限存在。
有界性
定义:设有数列xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立,则称数列xn有界。
定理1:如果数列{Xn}收敛,那么该数列必定有界。
推论:无界数列必定发散;数列有界,不一定收敛;数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件
保号性
如果数列{Xn}收敛于a,且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,都有Xn>0(或Xn<0)。
第3个回答 2015-11-04
数列an收敛就是数列an存在极限。追问
单调。有界能推出极限存在。极限存在能不能推出单调有界