等比数列的前n项和的Sn，S2n，S3n有何关系

设等比数列{an}的公比为q,则其和Sn,S2n,S3n之间有以下关系:
Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,公比为q^n.
证明:先证明一个更一般的通项公式.在等比数列中,
an=a1q^(n-1)
am=a1q^(m-1)
两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m).
S2n=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a2n
=Sn+(a1q^n+a2q^n+...+anq^n)=Sn+(a1+a2+...+an)q^n=Sn+Snq^n
∴(S2n-Sn)/Sn=q^n.
同理,S3n=S2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+...+a3n]
=S2n+[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+...+a2nq^n)
=S2n+[a(n+1)+a(n+2)+...+a2n]q^n
=S2n+[S2n-Sn}q^n.
∴(S3n-S2n)/(S2n-Sn)=q^n.
∴(S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n)/(S2n-Sn).即(S2n-Sn)^2=Sn(S3n-S2n).故证.本回答被提问者和网友采纳

对于等比数列，若首项是 a，公比是 r，则第 n 项可表示为 a * r^(n-1)。
首先，我们计算等比数列的前 n 项和 Sn：
Sn = a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^(n-1)
然后，计算等比数列的前 2n 项和 S2n 和前 3n 项和 S3n：
S2n = a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^(2n-1)
S3n = a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^(3n-1)
这里我们可以观察出两个重要的关系：
1. S2n 与 Sn 的关系：
将 S2n 分为两部分：S2n = (a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^(n-1)) + (a * r^n + a * r^(n+1) + a * r^(2n-1))
注意到第一部分等于 Sn，第二部分等于 Sn * r^n，所以可以得到 S2n = Sn + Sn * r^n = Sn * (1 + r^n)
2. S3n 与 Sn 的关系：
将 S3n 分为三部分：S3n = S2n + (a * r^(2n) + a * r^(2n+1) + ... + a * r^(3n-1))
注意到第二部分等于 Sn * r^(2n) * (1 + r^n + r^(2n) + ... + r^(n-1)), 这是一个等比数列求和公式，可以计算得到 r^(2n) * ((r^n)^n - 1) / (r^n - 1)
所以可以得到 S3n = S2n + Sn * r^(2n) * ((r^n)^n - 1) / (r^n - 1)。
综上所述，等比数列的前 n 项和 Sn，S2n 和 S3n 之间的关系是：
S2n = Sn * (1 + r^n)
S3n = S2n + Sn * r^(2n) * ((r^n)^n - 1) / (r^n - 1)
这些关系可以用于求解等比数列的各项和。

等比数列的前n和 Sn 可以表示为：

Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)

其中 a 是首项，r 是公比。

将 n 代换成 2n 和 3n，则得到对应的前 2n 项和 S2n 和 3n 项和 S3n：

S2n = a(1 - r^(2n)) / (1 - r)
S3n = a( - r^(3n)) / (1 - r我们可以观察到以下关系：

S2n = a(1 - r^(n)) / (1 - r) = (a(1 - r^n) / (1 - r)) * (1 + r^n)
= Sn * (1 + r^n)

S3n = a(1 - r^(3n)) / (1 - r) = (a(1 - r^n) / (1 - r)) * (1 + r^n + r^(2n))
= Sn * (1 + r^n + r^(2n))

所以，等比数列的前 2n 项和 S2n 是前 n 项和 Sn 乘以 1 + r^n，前 3n 项和 S3n 是前 n 项和 Sn 乘以 1 + r^n + r^(2n)。