(2011?天津)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;(Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
(I)证明:连接BD,MO
在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,
所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO
因为PB?平面ACM,MO?平面ACM
所以PB∥平面ACM
(II)证明:因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PO⊥AD,AC∩PO=O,AD⊥平面PAC
(III)解:取DO中点N,连接MN,AN
因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=
PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.
在Rt△DAO中,
AD=1,AO=,所以
DO=,
∴
AN=DO=,
MN=PO=1在Rt△ANM中,
tan∠MAN==
=
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为
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