如题所述
关键字:社会、经济、文化、风俗习惯等因素
摘要:
随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展,诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球,至今带来极大的危害。长期以来,建立制止传染病蔓延的手段等,一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要相当多的病理知识,这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播,而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。
模型1
在这个最简单的模型中,设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数,
方程(1)的解为
结果表明,随着t的增加,病人人数x(t)无限增长,这显然是不符合实际的。
建模失败的原因在于:在病人有效接触的人群中,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被传染为病人,所以在改进的模型中必须区别这两种人。
模型2SI模型
假设条件为
1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,即不考虑生死,也不考虑迁移。人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个词的第一个字母,称之为SI模型),以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。
2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称为日接触率。当病人与健康者接触时,使健康者受感染变为病人。
方程(5)是Logistic模型。它的解为
这时病人增加的最快,可以认为是医院的门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻
其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者。
模型3SIR模型
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人即非健康者(易感染者),也非病人(已感染者),他们已经退出传染系统。这种情况比较复杂,下面将详细分析建模过程。
模型假设
1.总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类,称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。
病人的日接触率为l,日治愈率为m(与SI模型相同),传染期接触为s=l/m。
模型构成
由假设1显然有
s(t)+i(t)+r(t)=1(12)
根据条件2方程(8)仍然成立。对于病愈免疫的移出者而言有
方程(14)无法求出s(t)和i(t)的解析解,我们先作数值计算。
模型4SIR模型
SIR模型是指易感染者被传染后变为感染者,感病者可以被治愈,并会产生免疫力,变为移除者。人员流动图为:S-I-R。
大多数传染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以冰域的人即非易感者,也非感病者,因此他们将被移除传染系统,我们称之为移除者,记为R类
假设:
1总人数为常数,且i(t)+s(t)+r(t)=n;
2单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比,比例系数为k(传染强度)。
3单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比,比例系数l。称为恢复系数。
可得方程:
模型分析:
由以上方程组的:=p/s-1p=l/k,所以i=plns/-s+n.容易看出当t无限大时i(t)=0;而当p时,i(t)单调下将趋于零;上批示,i(t)先单调上升的最高峰,然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象:p是一个门槛。从p的意义可知,应该降低传染率,提高回复率,即提高卫生医疗水平。
令t→∞可得:―=2*(―p)/p
所以:δps0=p+δ,当时,s≈2δ,这也就解释了本文开头的问题,即统一地区一种传染病每次流行时,被传染的人数大致不变。
模型的应用与推广:
根据传染病的模型建立研究进而推广产生了传染病动力学模型。传染病动力学[1]是对进行理论性定量研究的一种重要方法,是根据种群生长的特性,疾病的发生及在种群内的传播,发展规律,以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性,定量分析和数值模拟,来分析疾病的发展过程,揭示流行规律,预测变化趋势,分析疾病流行的原因和关键。对于2003年发生的SARS疫情,国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势,研究各种隔离预防措施的强度对控制流行的作用,为决策部门提供参考.有关SARS传播动力学研究多数采用的是SIR或SEIR模型.评价措施效果或拟合实际流行数据时,往往通过改变接触率和感染效率两个参数的值来实现.石耀霖[2]建了SARS传播的系统动力学模型,以越南的数据为参考,进行了MonteCarlo实验,初步结果表明,感染率及其随时间的变化是影响SARS传播的最重要因素.蔡全才[3]建立了可定量评价SARS干预措施效果的传播动力学模型,并对北京的数据进行了较好的拟合.
参考文献:
[1]姜启源编辅导课程(九)主讲教师:邓磊
[2]西北工业大学(数学建模)精品课程
[3]耀霖.SARS传染扩散的动力学随机模型[J].科学通报,2003,48(13)1373-1377 附录:
[1]数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象,也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态,内在机制的描述,也包括预测,试验和解释实际现象等内容
[2]数学建模的几个过程:
模型准备:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设:根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构。(尽量用简单的数学工具)
模型求解:利用获取的数据资料,对模型的所有参数做出计算(估计)。
模型分析:对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合,则要对计算结果给出其实际含义,并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设,再次重复建模过程。
模型应用:应用方式因问题的性质和建模的目的而异。