N表示全体正整数，求所有的函数g:N→N，使得对于任意m，n∈N，(g(m)+n)(g(n)+m)都是完全平方数。
另一方面,g(m)+n和g(m)+n+1中必有一个不被p整除,于是(g(m)+n)(g(n)+m)和(g(m)+n+1)(g(n+1)+m)中必有一个含素因子p的方次为奇数,与完全平方性矛盾.
因此对任意正整数n,Δ(n)=g(n+1)―g(n)=±1.但若有相邻的Δ(n),Δ(n+1)一个为1一个为―1,得到g(n+2)=g(n),与上述矛盾.又若Δ(n)恒为―1,g(n)最终取负值,亦矛盾.因此必所有Δ(n)=1,即g(n)=n+c (c∈N).显然这种函数满足题给条件.
因此满足条件的所有函数是g(n)=n+c (c∈N).
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第1个回答 2014-04-03
求所有的函数g:N→N？ 应该是g(N)→N吧？题目是这样么？追问
是这个意思
追答(g(m)+n)(g(n)+m)都是完全平方数的意思就是
求证g(m)+n与g(n)+m)的取值范围与结果对应相同即可
我已经试过了，不行。
追答你把(g(m)+n)(g(n)+m)展开化简合并
追问这个结果很好猜的，我已经猜到结果，g(n)=n+a（非负整数）,我需要证明过程
