已知一个椭圆的两个焦点分别为F1（-4，0） F2（4，0），过点F2且垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F2B|+|F1B|=10,椭圆上不同的两点A、C，满足|F2A|, |F2B|,|F2C|成等差数列：
1 求 线段AC中点的横坐标？（我知道答案是4，给以下过程，或说明一下过程也可以）
2 设线段AC的垂直平分线的方程为Y=kX+m,求m范围？
只答第一问也可以，两问都对的追加30分，我等着。。。。。。
解 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3
故椭圆方程为(x^2/25)+(y^2/9)=1
由点B(4,yB)在椭圆上，得∣F2B∣=∣yB∣=9/5
因为椭圆的右准线方程为x=25/4，率心率为4/5。
根据椭圆意义，有∣F2A∣=4/5(25/4-x1),
∣F2C∣4/5(25/4-x2),
由∣F2A∣、∣F2B∣、∣F2C∣成等差数列，得4/5(25/4-x1)+4/5(25/4-x2)=2×9/5,由此得出x1+x2=8
设弦AC的中点为P(xo,yo)，则xo=(x1+x2)/2=8/2=4
(2)由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上，得
9x12+25y12=9×25 ④,
9x22+25y22=9×25 ⑤，
由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0变形即9((x1+x2)/2)(x1-x2)+25((y1+y2)/2)(y1-y2)=0(x1≠x2)
将(x1+x2)/2=xo=4,(y1+y2)/2=yo，代入上式，得36(x1-x2)+25yo(y1-y2)=0，由此得(y1-y2)/(x1-x2)=-36/25yo,又(y1-y2)/(x1-x2)=-(1/k)(k≠0),
∴-(36/25yo)=-(1/k),故k=(25/36)yo(k=0时也成立)
由点P(4，yo)在弦AC的垂直平分线上，得yo=4k+m
所以m=yo-4k=yo-(25/9)yo=-(16/9)yo.
由P(4，yo)在线段BB'(B'与B关于x轴对称)的内部，得-(9/5)＜yo＜9/5，
所以：-(16/5)＜m＜16/5.
故椭圆方程为(x^2/25)+(y^2/9)=1
由点B(4,yB)在椭圆上，得∣F2B∣=∣yB∣=9/5
因为椭圆的右准线方程为x=25/4，率心率为4/5。
根据椭圆意义，有∣F2A∣=4/5(25/4-x1),
∣F2C∣4/5(25/4-x2),
由∣F2A∣、∣F2B∣、∣F2C∣成等差数列，得4/5(25/4-x1)+4/5(25/4-x2)=2×9/5,由此得出x1+x2=8
设弦AC的中点为P(xo,yo)，则xo=(x1+x2)/2=8/2=4
(2)由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上，得
9x12+25y12=9×25 ④,
9x22+25y22=9×25 ⑤，
由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0变形即9((x1+x2)/2)(x1-x2)+25((y1+y2)/2)(y1-y2)=0(x1≠x2)
将(x1+x2)/2=xo=4,(y1+y2)/2=yo，代入上式，得36(x1-x2)+25yo(y1-y2)=0，由此得(y1-y2)/(x1-x2)=-36/25yo,又(y1-y2)/(x1-x2)=-(1/k)(k≠0),
∴-(36/25yo)=-(1/k),故k=(25/36)yo(k=0时也成立)
由点P(4，yo)在弦AC的垂直平分线上，得yo=4k+m
所以m=yo-4k=yo-(25/9)yo=-(16/9)yo.
由P(4，yo)在线段BB'(B'与B关于x轴对称)的内部，得-(9/5)＜yo＜9/5，
所以：-(16/5)＜m＜16/5.
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第1个回答 2010-02-02
由题意，椭圆长轴长为2a＝10，故a＝5，c＝4，则b＝3
椭圆方程为x^2/25+y^2/9=1
由A,B,C三点到椭圆的焦点距离成等差数列,椭圆的离心率为3/5
|F2A|+|F2C|=2|F2B
∴|F2A|/e+|F2C|/e=2|F2B|/e
利用椭圆的第二定义
设A,B,C三点到准线的距离也成等差数列
即(a^2/c-xA)+(a^2/c-xC)=2(a^2/c-xB)
化简得xA+xC=2xB=2·4＝8
即xA+xC/2＝4，即AC中点的横坐标为4
第二问，需要用点差法，很繁，
结果是(-16/5,16/5)
椭圆方程为x^2/25+y^2/9=1
由A,B,C三点到椭圆的焦点距离成等差数列,椭圆的离心率为3/5
|F2A|+|F2C|=2|F2B
∴|F2A|/e+|F2C|/e=2|F2B|/e
利用椭圆的第二定义
设A,B,C三点到准线的距离也成等差数列
即(a^2/c-xA)+(a^2/c-xC)=2(a^2/c-xB)
化简得xA+xC=2xB=2·4＝8
即xA+xC/2＝4，即AC中点的横坐标为4
第二问，需要用点差法，很繁，
结果是(-16/5,16/5)
第2个回答 2010-02-02
|F2B|+|F1B|=10=2a
a=5 c=4
b=3
椭圆的解析式
x^2/25+y^2/9=1
|F2A|, |F2B|,|F2C|成等差数列
过A作AM垂直右准线
B作BN垂直右准线
C作CQ垂直右准线
所以|AM| |BN| |CQ| 也成等差数列
|AM|=24/5-xA
|BN|=24/5-4
|CQ|=24/5-xC
|AM|+|CQ|=2|BN|
xA+xC=8
线段AC中点的横坐标=(xA+xC)/2=4
a=5 c=4
b=3
椭圆的解析式
x^2/25+y^2/9=1
|F2A|, |F2B|,|F2C|成等差数列
过A作AM垂直右准线
B作BN垂直右准线
C作CQ垂直右准线
所以|AM| |BN| |CQ| 也成等差数列
|AM|=24/5-xA
|BN|=24/5-4
|CQ|=24/5-xC
|AM|+|CQ|=2|BN|
xA+xC=8
线段AC中点的横坐标=(xA+xC)/2=4
第3个回答 2010-02-02
利用右准线的性质，A、B、C到右准线的距离成等差数列，也就是说它们的横坐标成等差数列，所以AC中点的横坐标为4。
点差法+第二定义
设弦AC的中点为P(xo,yo)，
由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上，得
9x12+25y12=9×25 ④,
9x22+25y22=9×25 ⑤，
由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0变形即9((x1+x2)/2)(x1-x2)+25((y1+y2)/2)(y1-y2)=0(x1≠x2)
将(x1+x2)/2=xo=4,(y1+y2)/2=yo，代入上式，得36(x1-x2)+25yo(y1-y2)=0，由此得(y1-y2)/(x1-x2)=-36/25yo,又(y1-y2)/(x1-x2)=-(1/k)(k≠0),
∴-(36/25yo)=-(1/k),故k=(25/36)yo(k=0时也成立)
由点P(4，yo)在弦AC的垂直平分线上，得yo=4k+m
所以m=yo-4k=yo-(25/9)yo=-(16/9)yo.
由P(4，yo)在线段BB'(B'与B关于x轴对称)的内部，得-(9/5)＜yo＜9/5，
所以：-(16/5)＜m＜16/5.
点差法+第二定义
设弦AC的中点为P(xo,yo)，
由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上，得
9x12+25y12=9×25 ④,
9x22+25y22=9×25 ⑤，
由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0变形即9((x1+x2)/2)(x1-x2)+25((y1+y2)/2)(y1-y2)=0(x1≠x2)
将(x1+x2)/2=xo=4,(y1+y2)/2=yo，代入上式，得36(x1-x2)+25yo(y1-y2)=0，由此得(y1-y2)/(x1-x2)=-36/25yo,又(y1-y2)/(x1-x2)=-(1/k)(k≠0),
∴-(36/25yo)=-(1/k),故k=(25/36)yo(k=0时也成立)
由点P(4，yo)在弦AC的垂直平分线上，得yo=4k+m
所以m=yo-4k=yo-(25/9)yo=-(16/9)yo.
由P(4，yo)在线段BB'(B'与B关于x轴对称)的内部，得-(9/5)＜yo＜9/5，
所以：-(16/5)＜m＜16/5.
