我现在觉得世界上遍布着正态分布,就比如我现在所处的大学年级,每年都有几百个学生入学,他们中一部分成为学霸,一部分成为学渣,一部分能力发展比较全面。从来没有出现过哪一年的学生过来后都在好好学习或者都不学习整天玩的。这种正态分布是如何形成的?
首先,基本上每个人的学习都是相互独立的,所以可认为n个人的成绩是n个相互独立的随机变量X1,X2.....Xn,同时他们具有自己的数学期望和方差(每个人参加多次考试的成绩都会有所波动嘛),所以满足中心极限定理二李雅谱诺夫定理的条件,故无论各个随机变量服从什么分布,在满足上述定理的条件下,当人数较多时,即n较大时,ΣX就近似的服从正态分布。所以无论每个人的学习情况怎么样,总体是近似正太分布的。
正态分布在数理统计中具有基础性的作用,因此产生高质量的正态分布有重要的意义。我们将介绍几种数值方法求正态分布:中心极限定理,Hasiting 有理逼近法,统计工具箱,反函数法,舍选法,R软件及一维正态随机数的检验。
正态分布;一维;随机数。
一.利用中心极限定理
中心极限定理:(一般 n≥10),
产生服从N(μ,σ)的算法步骤:
(1)产生n 个RND 随机数:r1,r2,…,rn;
计算x?(?ri?(2) 2)/
i?1n122;
2(3) 计算 y=σx+μ ,y 是服从 N(μ,σ) 分布的随机数。
原理分析:
设ζ1,ζ2,…,ζn是n个相互独立的随机变量,且ζi~U(0,1), i= 1,2, …,n, 有E(?i)?1
,D(?i)?1,12
n??(??i?n由中心极限定理知 :)/,渐近服从正态分布N(0, l )。
i?1n
注意:我们现在已经能产生[0,1]均匀分布的随机数了,那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数。
r 1,r2,?,rn现在我们产生n个[0,1]均匀分布随机数,
我们有: ?1n1?u?n?r??n?i2???i?1?
为方便起见,我们特别选 n = 12,则 : u??ri?6
i?112
这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。
在C语言中表示为:
例1:利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验
% example 1
clc,clear
for i=1:1000
R=rand(1,12);
X(i)=sum(R)-6;
end
X=X';
m=mean(X)
v=var(X)
subplot(1,2,1),cdfplot(X)
subplot(1,2,2),histfit(X)
h=kstest(X, [X normcdf(X, 0,1)])
结果为:H=0, 接受原假设,变换后的确为标准正态分布。
二.Hasiting 有理逼近法
这是一种计算速度快,也能满足一定精度的算法。我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式,来产生标准正态分布的随机数。其计算公式为:
2a?ay?ay012 x?y?1?b1y?b2y2?b3y3
y?(?2lnr)1/2,r~U(0,1),系数为: 这里
a0 = 2.515517 b1 = 1.432788
a1 = 0.802853 b2 = 0.189269
a2 = 0.010328 b3 = 0.001308
三.利用统计工具箱
在MATLAB统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序,我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数。
四.反函数法
设连续型随机变量Y的概率函数为 f(x), 需产生给定分布的随机数.
算法:
(1)产生n个RND 随机数r1,r2,…,rn;
从等式ri??f(y)dy中解出yi;所得(2) ??yiyi, i=1,2, …,n 即所求.
基本原理:
设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数,而且随机变量X~U(0,1),令Z=F(X)。 则Z与Y有相同分布。
证明 :FZ(z)= P{F(X) ≤ z}= P{X≤F(z)}=G(F(z)) = F(z)
因G(x)是随机变量X 的分布函数:
?0,?G(x)??x,
?1, ?-1-1 x?0;0?x?1;1?x.
-1Y若Y的概率密度为 f(y),由Y=F(X)可得: X?F(Y)??f(y)dy??
对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数ri,则具有给定分布的随机数 yi 可由方程
if(y)dy解出。 ri????y
五.舍选法
基本思想:
实质上是从许多RND随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数。 设随机变量X的概率密度函数为f(x),存在实数a<b,使P{a<X<b}=1。 算法步骤:
(1) 选取常数λ,使λf(x)<1,x∈(a, b);
(2) 产生两个RND 随机数r1 、r2,令y= a+(b-a)r1 ;
(3) 若r2≤λf(y),则令x=y;否则剔除 r1和r2, 重返步骤(2),重复循环, 产生的随机数x1,x2,…,xN的分布由概率函数 f(x) 确定。
舍选法算法原理分析:
设P{a<Z<b}=1,Z的概率密度为f(z),
(1)选常数λ,使λf(z)≤1,z∈(a,b);
(2)随机变量X1,X2相互独立Xi~U(0, 1),令Y1=a+(b-a)X1~U(a, b);
(3)若X2≤λf(Y1),则令X = Y1,否则剔除X1,X2重复到(2); 则随机变量X的分布与Z相同。
b注: 若不满足条件:?f(x)dx?1,a
可选取有限区间(a1, b1),使得 ?a1f(x)dx?1??(ε是很小的正数) 例如,取 a1=μ-3σ,b1=μ+3σ(x??)2?e2dx?1?0.003,有a12??b1?b1
在区间(a1, b1)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差。
六.R软件
利用R软件,可方便地求各种常见概率分布的分布函数,分位点及生成各种常见分布的随机数等。在各种分布名称中加上不同的前缀表示不同的意义如:p-求分布函数,q-求分位点,r产生随机数等。
七、一维正态随机数的检验
我们已经基本搞清伪随机数的产生原理,由于并不是真正的随机数,很自然的问题是,它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小、独立性,均匀性等等。
设:随机数具有连续的分布函数F(X),则随机变量R=(X)是均匀分布(0,1)的随机变量,因此如果R通过统计检验随机变量 X 也可以通过。因此我们以下着重讨论均匀分布R的检验问题,再简单地讨论正态随机数检验问题。 统计推断原理:
X1,X2,?,Xn为 随机变量序列,则随机序列的函数称为统计量。统计量的定义:设
记为:
S?S(X1,X2,?,Xn)显然统计量 S 也是随机变量。既然是随机变量,它们就应该有其分布或称总体的规律,当然也有各种数字特征。例如均值、标准差、方差等等各阶矩。
我们的统计推断方式是:
(1)H0:某假定成立;
(2)在假定成立的条件下构造统计量S;
(3)统计量构造完毕,我们也就知道了该统计量的全部统计规律。如它的分布函数,或密度函数各阶矩等;
(4)根据统计量的分布,在给定的显著性水平α,对统计量S 的一次抽样确定以 1-α为概率的区域,该区域称为接受域 。如果该次抽样计算出统计量 S 的值 s 落入该领域,我们就接受原假,否则推翻原假设。这个就是小概率事件在一次实验实际不可能发生原理。落入由α 确定的区域是一个小概率事件,在一次实验中我们认为是不可能发生的。
统计检验中两类常用统计量的构造检验方法:
?,和有限方差D(X)= ?2,我们抽 N 1.设随机变量 X 具有数学期望E(X)=
?XN
i??
正态分布在数理统计中具有基础性的作用,因此产生高质量的正态分布有重要的意义。我们将介绍几种数值方法求正态分布:中心极限定理,Hasiting 有理逼近法,统计工具箱,反函数法,舍选法,R软件及一维正态随机数的检验。
正态分布;一维;随机数。
一.利用中心极限定理
中心极限定理:(一般 n≥10),
产生服从N(μ,σ)的算法步骤:
(1)产生n 个RND 随机数:r1,r2,…,rn;
计算x?(?ri?(2) 2)/
i?1n122;
2(3) 计算 y=σx+μ ,y 是服从 N(μ,σ) 分布的随机数。
原理分析:
设ζ1,ζ2,…,ζn是n个相互独立的随机变量,且ζi~U(0,1), i= 1,2, …,n, 有E(?i)?1
,D(?i)?1,12
n??(??i?n由中心极限定理知 :)/,渐近服从正态分布N(0, l )。
i?1n
注意:我们现在已经能产生[0,1]均匀分布的随机数了,那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数。
r 1,r2,?,rn现在我们产生n个[0,1]均匀分布随机数,
我们有: ?1n1?u?n?r??n?i2???i?1?
为方便起见,我们特别选 n = 12,则 : u??ri?6
i?112
这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。
在C语言中表示为:
例1:利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验
% example 1
clc,clear
for i=1:1000
R=rand(1,12);
X(i)=sum(R)-6;
end
X=X';
m=mean(X)
v=var(X)
subplot(1,2,1),cdfplot(X)
subplot(1,2,2),histfit(X)
h=kstest(X, [X normcdf(X, 0,1)])
结果为:H=0, 接受原假设,变换后的确为标准正态分布。
二.Hasiting 有理逼近法
这是一种计算速度快,也能满足一定精度的算法。我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式,来产生标准正态分布的随机数。其计算公式为:
2a?ay?ay012 x?y?1?b1y?b2y2?b3y3
y?(?2lnr)1/2,r~U(0,1),系数为: 这里
a0 = 2.515517 b1 = 1.432788
a1 = 0.802853 b2 = 0.189269
a2 = 0.010328 b3 = 0.001308
三.利用统计工具箱
在MATLAB统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序,我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数。
四.反函数法
设连续型随机变量Y的概率函数为 f(x), 需产生给定分布的随机数.
算法:
(1)产生n个RND 随机数r1,r2,…,rn;
从等式ri??f(y)dy中解出yi;所得(2) ??yiyi, i=1,2, …,n 即所求.
基本原理:
设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数,而且随机变量X~U(0,1),令Z=F(X)。 则Z与Y有相同分布。
证明 :FZ(z)= P{F(X) ≤ z}= P{X≤F(z)}=G(F(z)) = F(z)
因G(x)是随机变量X 的分布函数:
?0,?G(x)??x,
?1, ?-1-1 x?0;0?x?1;1?x.
-1Y若Y的概率密度为 f(y),由Y=F(X)可得: X?F(Y)??f(y)dy??
对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数ri,则具有给定分布的随机数 yi 可由方程
if(y)dy解出。 ri????y
五.舍选法
基本思想:
实质上是从许多RND随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数。 设随机变量X的概率密度函数为f(x),存在实数a<b,使P{a<X<b}=1。 算法步骤:
(1) 选取常数λ,使λf(x)<1,x∈(a, b);
(2) 产生两个RND 随机数r1 、r2,令y= a+(b-a)r1 ;
(3) 若r2≤λf(y),则令x=y;否则剔除 r1和r2, 重返步骤(2),重复循环, 产生的随机数x1,x2,…,xN的分布由概率函数 f(x) 确定。
舍选法算法原理分析:
设P{a<Z<b}=1,Z的概率密度为f(z),
(1)选常数λ,使λf(z)≤1,z∈(a,b);
(2)随机变量X1,X2相互独立Xi~U(0, 1),令Y1=a+(b-a)X1~U(a, b);
(3)若X2≤λf(Y1),则令X = Y1,否则剔除X1,X2重复到(2); 则随机变量X的分布与Z相同。
b注: 若不满足条件:?f(x)dx?1,a
可选取有限区间(a1, b1),使得 ?a1f(x)dx?1??(ε是很小的正数) 例如,取 a1=μ-3σ,b1=μ+3σ(x??)2?e2dx?1?0.003,有a12??b1?b1
在区间(a1, b1)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差。
六.R软件
利用R软件,可方便地求各种常见概率分布的分布函数,分位点及生成各种常见分布的随机数等。在各种分布名称中加上不同的前缀表示不同的意义如:p-求分布函数,q-求分位点,r产生随机数等。
七、一维正态随机数的检验
我们已经基本搞清伪随机数的产生原理,由于并不是真正的随机数,很自然的问题是,它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小、独立性,均匀性等等。
设:随机数具有连续的分布函数F(X),则随机变量R=(X)是均匀分布(0,1)的随机变量,因此如果R通过统计检验随机变量 X 也可以通过。因此我们以下着重讨论均匀分布R的检验问题,再简单地讨论正态随机数检验问题。 统计推断原理:
X1,X2,?,Xn为 随机变量序列,则随机序列的函数称为统计量。统计量的定义:设
记为:
S?S(X1,X2,?,Xn)显然统计量 S 也是随机变量。既然是随机变量,它们就应该有其分布或称总体的规律,当然也有各种数字特征。例如均值、标准差、方差等等各阶矩。
我们的统计推断方式是:
(1)H0:某假定成立;
(2)在假定成立的条件下构造统计量S;
(3)统计量构造完毕,我们也就知道了该统计量的全部统计规律。如它的分布函数,或密度函数各阶矩等;
(4)根据统计量的分布,在给定的显著性水平α,对统计量S 的一次抽样确定以 1-α为概率的区域,该区域称为接受域 。如果该次抽样计算出统计量 S 的值 s 落入该领域,我们就接受原假,否则推翻原假设。这个就是小概率事件在一次实验实际不可能发生原理。落入由α 确定的区域是一个小概率事件,在一次实验中我们认为是不可能发生的。
统计检验中两类常用统计量的构造检验方法:
?,和有限方差D(X)= ?2,我们抽 N 1.设随机变量 X 具有数学期望E(X)=
?XN
i??
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第1个回答 2014-11-26
首先,基本上每个人的学习都是相互独立的,所以可认为n个人的成绩是n个相互独立的随机变量X1,X2.....Xn,同时他们具有自己的数学期望和方差(每个人参加多次考试的成绩都会有所波动嘛),所以满足中心极限定理二李雅谱诺夫定理的条件,故无论各个随机变量服从什么分布,在满足上述定理的条件下,当人数较多时,即n较大时,ΣX就近似的服从正态分布。所以无论每个人的学习情况怎么样,总体是近似正太分布的。关于中心极限定理二李雅谱诺夫定理的求证可参考以下网页本回答被提问者和网友采纳