空间对称群一般对称群

在数学的广泛语境中，对称群的概念可以扩展到各种变换群或自同构群的范畴。当我们研究特定的数学结构时，关键在于理解哪些变换能够保持其原有的结构。反过来，通过观察其对称性，我们可以揭示结构的特性，甚至找出不变量，这是理解爱尔兰根纲领的一种途径。

以有限几何为例，其某些模型的自同构群在通常的意义下并非是对称群，尽管它们确实保留对称性。这种群保留的是点集的集合，而不是单个点或对象。这种群称为pattern groups，它们关注的是模式或结构的对称关系。

在几何空间内，对于特定形状，我们可以通过定义一个等价关系来理解对称群。两个空间自同构如果能够使得形状的图样完全相同（即精确无误的匹配，而非仅仅在平移和旋转下的相似），则被认为是等价的。这个等价类就构成了形状的对称群，且每个等价类代表形状的一个同构版本。

在空间的有限自同构群中，对称群的大小是形状同构版本数目的乘积。例如，欧氏空间中的等距同构，如长方形，有无限多的等价类，每个等价类包含4个等距同构。而对于具有欧几里德度量的立方体，尽管有48个等距同构，其形状——各面有不同颜色的立方体，对称群有8个等价类，每个等价类对应一个不同的同构版本。

此观点与拉格朗日定理（群论中的重要定理）并不相同，拉格朗日定理主要关注群的性质和其子群之间的关系，而这里更侧重于形状的对称性和自同构群的结构分析。两者虽然都与数学的结构理论紧密相关，但关注点和应用背景有所不同。

一个物件（如一维、二维或三维中的图像或信号）的对称群是指在复合函数运算下不变的所有等距同构所构成的群。其为所考虑之空间的等距同构群中的一个子群。(若没有另外述叙，则本文可考虑在欧氏空间内的对称群，但此一概念亦可以被应用在更广义的用途上，见下文。)